[Def]换位子(commutator)
$\mathfrak{g}=T_1 G$ 是一个向量空间, 除向量空间的结构外, 还可以(局部)赋予代数结构.
由于指数映照局部地将 $G$ 等同于 $\mathfrak{g}$, 故 $G$ 中的乘法在 $\mathfrak{g}$ 中定义了某种运算. 也就是说, 取足够小的 $x,y\in\mathfrak{g}$, $\exp(x)\exp(y)$ 将十分接近 $1\in G$.
因此在 $(0,0)\in\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}$ 的小邻域中可定义光滑映射 $\mu:\ \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$, 将上面的 $\exp(x)\exp(y)$ 写成如下形式
\[\exp(x)\exp(y)=\exp(\mu(x,y))\]
Lemma 3.11 $\mu(x,y)$ 的 Taylor 展开为
\[\mu(x,y)=x+y+\lambda(x,y)+\cdots\]
其中 $\lambda:\ \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ 是一个双线性反对称映射, $\cdots$ 代表阶数大于等于 $3$ 的项.
Pf. 定义在 $(0,0)$ 附近的任意光滑映射 $\mu(x,y)$ 都可以写成
\[\alpha_1(x)+\alpha_2(y)+Q_1(x)+Q_2(y)+\lambda(x,y)+\cdots\]
其中 $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ 的光滑映射; $Q_1,Q_2$ 是二次的, $\lambda$ 是双线性的. (这实际上就是 Taylor 展开.)
在 $\exp(x)\exp(y)=\exp(\mu(x,y))$ 中令 $y=0$, 得 $\exp(x)\exp(0)=\exp(\mu(x,0))$. 注意 $\exp(0)=1\in G$. 因此, $\mu(x,0)=x$. 另一方面, $\mu(x,0)=\alpha_1(x)+\alpha_2(0)+Q_1(x)+Q_2(0)+\lambda(x,0)+\cdots$. 由于 $\alpha_2, \lambda$ 关于 $y$ 都是线性的, 因此, $\alpha_2(0)=0=\lambda(x,0)$, 而 $Q_2(y)$ 关于 $y$ 是二次的, 故 $Q_2(0)=0$. 那些关于 $x,y$ 阶数大于等于 3 的在 $y=0$ 时也等于 0. 因此我们有 $\mu(x,0)=\alpha_1(x)+Q_1(x)$.
\[\alpha_1(x)=x,\quad Q_1(x)=0.\]
类似的, 在 $\exp(x)\exp(y)=\exp(\mu(x,y))$ 中令 $x=0$, 可得 $\mu(0,y)=y$. 从而
\[\alpha_2(y)=y,\quad Q_2(y)=0.\]
因此,
\[\mu(x,y)=x+y+\lambda(x,y)+\cdots\]
要证明 $\lambda$ 是反对称的, 只需证明 $\lambda(x,x)=0$. (因为 $0=\lambda(x+y,x+y)=\lambda(x,y)+\lambda(y,x)$.)
注意到(by $\exp((t+s)x)=\exp(tx)\exp(sx)$)
\[\exp(\mu(x,x))=\exp(x)\exp(x)=\exp(2x),\]
因此, $\mu(x,x)=x+x$. 而 $\mu(x,x)=x+x+\lambda(x,x)+\cdots$, 故(从阶的角度)推出 $\lambda(x,x)$ 和 $\cdots$ 部分都等于 0. 即证明了 $\lambda(x,x)=0$.
Q.E.D of Lemma 3.11
传统上, 也是为了后面能清楚地解释, 我们记 $[x,y]=2\lambda(x,y)$. 于是我们有
\[\exp(x)\exp(y)=\exp(x+y+\frac{1}{2}[x,y]+\cdots)\]
这里 $[,]:\ \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ 是双线性反对称映射, 它给出了 $\mathfrak{g}$ 上的新的运算. 我们把它称为交换子(commutator).
于是, 我们看到, 对于任意李群, 它在原点的切空间 $\mathfrak{g}=T_1 G$ 具有典范的反对称双线性运算. 它表现为 $G$ 中乘法的 Taylor 级数中最低阶的非平凡项. 这个运算有下面的性质.
Proposition 3.12
(1) 对李群 $G_1$, $G_2$ 的任意同态 $\varphi:G_1\rightarrow G_2$, 相应的李代数之间的映射 $\varphi_*:\mathfrak{g}_1\rightarrow\mathfrak{g}_2$ 保持交换子运算:
\[\varphi_*[x,y]=[\varphi_* x,\varphi_* y],\quad\forall\ x,y\in\mathfrak{g}_1.\]
(2) 伴随作用保持交换子运算:
\[\mathrm{ad}_g([x,y])=[\mathrm{ad}_g x,\mathrm{ad}_g y].\]
(3)
\[\exp(x)\exp(y)\exp(-x)\exp(-y)=\exp([x,y]+\cdots),\]
其中 $\cdots$ 代表阶数大于等于 $3$ 的项.
译自
[Kirillov] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]