李群在流形上的作用和表示
为什么李群被经常提及和利用, 其基本原因是它们是各种几何对象的对称群.
Definition 2.14
李群 $G$ 在流形 $M$ 上的作用是指对于每个 $g\in G$, 赋予 $M$ 上一个微分同胚, 即 $\rho(g)\in\mathrm{Diff}M$, 使得
\[\rho(1)=\mathrm{id},\quad\rho(gh)=\rho(g)\rho(h),\]
并且映射
\[
\begin{array}{rcl}
G\times M&\rightarrow& M\\
(g,m)&\mapsto&\rho(g).m
\end{array}
\]
是光滑的.
Example 2.15
(1) 一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ (从而它的任意李子群) 作用在 $\mathbb{R}^n$ 上.
(2) 正交群 $\mathrm{O}(n,\mathbb{R})$ 作用在球面 $S^{n-1}\subset\mathbb{R}^n$ 上.
(3) 酉群 $\mathrm{U}(n)$ 作用在 $S^{2n-1}\subset\mathbb{C}^n$ 上.
与流形上群作用密切相关的概念是表示.
Definition 2.16(表示)
李群 $G$ 的表示是指某个线性空间 $V$ 连同群同态 $\rho:G\rightarrow\mathrm{End}(V)$ 一起称为李群 $G$ 在 $V$ 上的表示.
粗略地讲, 就是将 $G$ 中的元素表现为某个线性空间 $V$ 的自同态, 并且保持 $G$ 中运算: $\rho(g)\rho(h)=\rho(gh)$.
若 $V$ 是有限维的, 则我们要求
\[
\begin{array}{rcl}
G\times V&\rightarrow& V\\
(g,v)&\mapsto&\rho(g).v
\end{array}
\]
是光滑映射, 从而 $\rho$ 是李群之间的同态.
两个表示 $(V,\rho_V)$, $(W,\rho_W)$ 之间的同态是指线性映射 $f:V\rightarrow W$ 满足与群作用可交换:
\[f\rho_V(g)=\rho_W(g)f\]
在不发生混淆的时候, 我们常记 $g.v=\rho(g).v$
Remark 2.17.
注意, 有时我们经常考虑李群 $G$ 的复向量空间 $V$ 表示, 即使对于实李群 $G$ 也这么做.
群 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 相应于 $M$ 的不同向量空间给出 $G$ 的不同表示:
(1) 群 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 相应于(无穷维)光滑函数空间 $C^\infty(M)$, 其表示定义为
\[
\begin{array}{rcl}
\rho(g):\ C^\infty(M)&\rightarrow& C^\infty(M)\\
f&\mapsto&\rho(g)f:=f(g^{-1}.\ )
\end{array}
\]
即 $(\rho(g)f)(m):=f(g^{-1}.m)$, $\forall\ m\in M$.
注意这里定义为 $f(g^{-1}.m)$ 而非 $f(g.m)$, 是为了满足 $\rho(g)\rho(h)=\rho(gh)$. 事实上,
\[\bigl(\rho(g)\rho(h)f\bigr)(m)=\rho(g)f(h^{-1}.m)=f(h^{-1}.(g^{-1}.m))=f((gh)^{-1}.m)=\bigl(\rho(gh)f\bigr)(m).\]
(2) 群 $G$ 作用在流形 $M$ 上, 相应于(无穷维)向量场空间 $\mathrm{Vect}(M)$, 其表示定义为
\[
\begin{array}{rcl}
\rho(g):\ \mathrm{Vect}(M)&\rightarrow& \mathrm{Vect}(M)\\
v&\mapsto&\rho(g).v:=g_*(v(g^{-1}.\ ))
\end{array}
\]
即 $(\rho(g).v)(m):=g_*(v(g^{-1}.m))$, $\forall\ m\in M$. 这里 $g_*$ 是由同胚映射 $\rho_g: M\rightarrow M$ 所诱导的切映射 $(\rho_{g})_*: TM\rightarrow TM$.
类似地, 可以定义群 $G$ 基于 $M$ 上微分形式空间的表示, 以及 $M$ 上其他各种类型张量场空间的表示.
(3) 假设 $m\in M$ 是群作用 $G\times M\rightarrow M$ 的稳定点, 即 $g.m=m$, $\forall\ g\in G$. 则可定义 $G$ 在切空间 $T_m M$ 上的一个典范表示:
\[\rho(g)=g_*:\ T_m M\rightarrow T_m M\]
类似可对余切空间 $T_m^* M$ 及余切丛空间 $\bigwedge^k T_m^* M$ 定义相应的表示.
译自
[Kirillov] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]