问题及解答

连通李群 $G$ 的万有覆盖 $\tilde{G}$ 上具有典型的李群结构, 使得复叠映射 $p:\tilde{G}\rightarrow G$ 是李群同态, $\ker p=\pi_1(G)$. 并且此时 $\ker p$ 是 $\tilde{G}$ 的一个离散中心子群.

回忆拓扑中有下面的一般性结论:

设 $M,N$ 是连通流形(或更一般的, 足够好的拓扑空间), 则任意连续映射 $f:M\rightarrow N$ 可提升为万有覆盖空间中的映射 $\tilde{f}:\tilde{M}\rightarrow\tilde{N}$.

若取 $m\in M$, $n\in N$, 使得 $f(m)=n$. 并取 $\tilde{m}\in\tilde{M}$, $\tilde{n}\in\tilde{N}$ 使得 $p(\tilde{m})=m$, $p(\tilde{n})=n$. 则存在 $f$ 的惟一提升 $\tilde{f}$, 使得 $\tilde{f}(\tilde{m})=\tilde{n}$.

现在取 $\tilde{1}\in\tilde{G}$, 使得 $p(\tilde{1})=1\in G$. 于是, 对于可逆映射 $i:G\rightarrow G$, 根据上面的定理, 存在惟一的提升: $\tilde{i}:\tilde{G}\rightarrow\tilde{G}$ 满足 $\tilde{i}(\tilde{1})=\tilde{1}$.

类似的, 可以构造映射 $\tilde{G}\times\tilde{G}\rightarrow\tilde{G}$.

$\ker p$ 是中心子群可由 问题1893 推出.