证明: 连通李群的每个离散正规子群是central的.
Remark:
群 $G$ 的中心记为 $Z(G)=\{g\in G\mid gh=hg, \forall h\in G\}$. 设 $H$ 是 $G$ 的一个子群, 如果 $H\leq Z(G)$, 则称 $H$ 是 central 的.
将上题的结论应用到李群 $G$ 的万有覆盖映射 $\pi:\widetilde{G}\rightarrow G$ 的 kernel, 证明: 对于任意连通李群 $G$, 其基本群 $\pi_1(G)$ 都是可交换的.
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设 $G$ 是连通李群, $H$ 是 $G$ 的一个离散正规子群. 要证明 $H\leq Z(G)$.
任取 $h\in H$, 考虑映射
\[
\begin{array}{rcl}
\sigma_h: G&\rightarrow &H\\
g&\mapsto & ghg^{-1}
\end{array}
\]
由于 $H\lhd G$, 得 $gH=Hg$, 对所有 $g\in G$. 或等价的, $gHg^{-1}=H$. 因此上面的映射是 well-defined.
显然 $\sigma_h$ 是连续映射, 而 $H$ 是离散群, 故 $ghg^{-1}=h$, 即 $gh=hg$.
也就是说对于任意 $h\in H$, 满足 $gh=hg$, $\forall\ g\in G$. 因此 $H\subset Z(G)$. 又 $H$ 是子群.
故 $H\leq Z(G)$.