对于 $M$ 上的向量场 $X,Y$, 有 $L_X Y=[X,Y]$.
Prop. 对于 $M$ 上的向量场 $X,Y$, 有 $L_X Y=[X,Y]$.
Remark:
因此对于沿着向量场 $X$ 的作用在向量场 $Y$ 上的李导数, $L$ 关于 $X$ 也是线性的.
Answer
问题及解答
1
我们看到李导数满足
\[
DF^{-t}(Y|_{F^t})=Y+tL_X Y+o(t),
\]
或者等价地, 两边作用 $DF^t$, 得
\[
Y|_{F^t}=DF^t(Y)+tDF^t(L_X Y)+o(t).
\]
因此, 自然地去考虑函数 $f$ 沿 $Y|_{F^t}-DF^t(Y)$ 方向的方向导数.
\[
\begin{split}
D_{Y|_{F^t}-DF^t(Y)}f &=D_{Y|_{F^t}}f-D_{DF^t(Y)}f\\
&=(D_Y f)\circ F^t - D_Y(f\circ F^t)\\
&=D_Y f+tD_X D_Y f+o(t)-D_Y(f+tD_X f+o(t))\\
&=t(D_X D_Y f-D_Y D_X f)+o(t)\\
&=tD_{[X,Y]}f+o(t).
\end{split}
\]
其中第二个等号是因为 $(DF^t(Y))f=(F_*^t(Y))f=Y({F^t}^* f)=Y(f\circ F^t)$. 当然前者更好理解 $((D_Y f)\circ F^t)(p)=(D_Y f)(F^t(p))=D_{Y|_{F^t}}(f)$.
最后一个等号用到了 Levi-Civita 联络的性质.
于是, 这证明了
\[
L_X Y=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{Y|_{F^t}-DF^t (Y)}{t}=[X,Y],
\]
故
\[
L_Y X=[Y,X]=-[X,Y]=-L_X Y.
\]