问题及解答

令 $\mathrm{Sp}(n):=\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})\cap\mathrm{SU}(2n)$. 证明 $\mathrm{Sp}(n)$ 是一个紧致实李群, 并计算它在单位元 $1$ 处的切空间.

这个群有时被称为四元数酉群(quaternioic unitary group).

证明 $\mathfrak{sp}(n)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$. 于是 $\mathrm{Sp}(n)$ 是 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})$ 的紧致实形式.

References:

Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie groups and Lie Algebras, Exercises 2.7, 3.16.