问题及解答

证明: 李群 $\mathrm{U}(n)$ 作为拓扑空间同胚于 $\mathrm{SU}(n)\times S^1$.

\[\mathrm{SU}(n)=\mathrm{U}(n)\cap\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})\]

令

\[
\begin{array}{rcc}
\varphi:\ \mathrm{SU}(n)\times S^1&\rightarrow&\mathrm{U}(n)\\
(A,e^{i\theta})&\mapsto&e^{i\theta}A
\end{array}
\]

显然 $\det(e^{i\theta}A)=e^{in\theta}\det{A}=e^{in\theta}$, 并且

\[\overline{e^{i\theta}A}^T e^{i\theta}A=e^{-i\theta}\bar{A}^T e^{i\theta}A=\bar{A}^T A=I_n,\]

故 $e^{i\theta}A\in\mathrm{U}(n)$.

Claim 1. $\varphi$ 是单射.

Pf. 设 $e^{i\alpha}A=e^{i\beta}B$, $\alpha,\beta\in[0,2\pi)$. $A,B\in\mathrm{SU}(n)$. 则

\[A=e^{i(\beta-\alpha)}B\Rightarrow\det(A)=e^{in(\beta-\alpha)}\det(B)\Rightarrow e^{in(\beta-\alpha)}=1\]

这推出 $n(\beta-\alpha)=0$, 而 $-2\pi < \beta-\alpha < 2\pi$, 从而 $\beta=\alpha$, 且 $A=B$.

Q.E.D of Claim 1.

Claim 2. $\varphi$ 是满射.

Pf. 任取 $B\in\mathrm{U}(n)$, 设 $\det(B)=e^{i\theta}$, 则 $A:=e^{-i\theta}B\in\mathrm{SU}(n)$. 因此

\[\varphi(e^{-i\theta}B, e^{i\theta})=B.\]

Q.E.D of Claim 2.

因此, $\varphi$ 是一个双射, 而且在 $\mathrm{SU}(n)\times S^1$ 的乘积拓扑下, $\varphi$ 与 $\varphi^{-1}$ 都是连续的. 故 $\mathrm{SU}(n)\times S^1$ 与 $\mathrm{U}(n)$ 同胚.