问题及解答

(1) $\mathbb{R}^n$, 赋予欧氏度量后是光滑流形; 作为向量空间, 连同加法运算成为一个交换群.

(2) $\mathbb{R}^*,\times$, $\mathbb{R}_+,\times$

(3) $S^1=\{z\in\mathbb{C} : |z|=1\},\times$

(4) $GL(n,\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^{n^2}$, $GL(n,\mathbb{C})$

许多我们考虑的群都是 $GL(n,\mathbb{R})$ 或 $GL(n,\mathbb{C})$ 的子群.

(5) $SU(2)=\{A\in GL(2,\mathbb{C})\mid A\bar{A}^t=I_2,\ \det(A)=1\}$. 事实上, $SU(2)$ 中的矩阵可写为

\[SU(2)=\biggl\{
\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar{\beta}&\bar{\alpha}\end{pmatrix}\ :\ \alpha,\beta\in\mathbb{C},\ |\alpha|^2+|\beta|^2=1.
\biggr\}\]

(参见问题793的答案)

当写 $\alpha=x_1+ix_2$, $\beta=x_3+ix_4$, $x_i\in\mathbb{R}$ 时, 我们看到 $SU(2)$ 微分同胚于

\[S^3=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\}\subset\mathbb{R}^4.\]

(6) 事实上, 线性代数中通常的群, 如 $GL(n,\mathbb{R})$, $SL(n,\mathbb{R})$, $O(n,\mathbb{R})$, $U(n)$, $SO(n,\mathbb{R})$, $SU(n)$, $Sp(2n,\mathbb{R})$ 都是李群.(参见问题847中的推论.)

Reference:

[1] Alexander Kirillov, Jr., Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. [pdf]