[Def]群作用
设 $G$ 是一个群, $X$ 是一个集合. 群 $G$ 称为(左)作用在集合 $X$ 上, 如果存在映射 $\theta: G\times X\rightarrow X$, 使得满足下面两个条件:
(i) 若 $e$ 是群 $G$ 的单位元, 则 $\theta(e,x)=x$, $\forall\ x\in X$.
(ii) 若 $g_1,g_2\in G$, 则 $\theta(g_1,\theta(g_2,x))=\theta(g_1g_2,x)$, $\forall\ x\in X$.
当 $G$ 是拓扑群, $X$ 是拓扑空间, 且 $\theta$ 连续时, 称此群作用是连续的.
当 $G$ 是李群, $X$ 是光滑流形, $\theta$ 是 $C^\infty$ 映射时, 我们称此群作用 $C^\infty$ 的.
很多时候我们简记 $\theta(g,x)$ 为 $gx$. 因此条件中的 (ii) 可写为 $g_1(g_2 x)=(g_1g_2)x$.
根据 $\theta$, 对每个固定的 $g$, 定义了映射 $\theta_g:\ X\rightarrow X$, $\theta_g(x):=\theta(g,x)=gx$.
因此 (ii) 也可改写为
\[\theta_{g_1}\circ\theta_{g_2}=\theta_{g_1g_2}\]
群的右作用, 定义是类似的, 只要将上面的两个条件改为
(i) $\theta(x,e)=x$, $\forall\ x\in X$.
(ii) $\theta(\theta(x,g_1),g_2)=\theta(x,g_1g_2)$.
通常我们考虑左作用. 两种情况都称为群作用.
注意到 $\theta_{g^{-1}}=(\theta_g)^{-1}$, 因为
\[\theta_{g^{-1}}\circ\theta_{g}=\theta_{g^{-1}g}=\theta_{e}=\text{id}_X,\]
其中 $\text{id}_X$ 是 $X$ 上的恒同映射.
这意味着每个 $\theta_g$ 都是一个一一在上映射, 因此加上 (ii) 可推出下面的结论.
Claim. 若群 $G$ 作用在集合 $X$ 上, 则映射 $g\mapsto\theta_g$ 是群 $G$ 到 $S(X)$ 的一个同态. 反之, 群 $G$ 到 $S(X)$ 的任一个同态确定一个 $X$ 上的一个群作用. $\theta(g,x)=\theta_g(x)$.
[Def] 注意到同态 $G\rightarrow S(X)$ 是单射当且仅当 $\theta_g=\text{id}_X\Rightarrow g=e$. 此时, 我们称此群作用是有效的(effective).
当群作用是有效时, 通过映射 $g\mapsto\theta_g$ 可将 $G$ 等同于置换群 $S(X)$ 的一个子群.
[Def] 设 $X$ 是一个 $G$-空间, $G$ 对 $X$ 的群作用是自由的(free), 如果有某个 $x\in X$, 使得 $x\cdot g=x$, 则这个 $g$ 一定是单位元. 换句话说, 若 $g\neq e$, 则对任意 $x\in X$, 有 $x\cdot g\neq x$.
若 $X$ 是拓扑空间($C^\infty$ 流形), $G$ 是拓扑群(李群), 并且群作用是连续的($C^\infty$ 的), 则每个 $\theta_g$ 是一个同胚(微分同胚).
译自
William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edtion. P.91--92.