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Questions in category: 调和分析 (Harmonic Analysis).

1

Fourier 级数

Posted by haifeng on 2015-12-14 18:08:10 last update 2015-12-16 00:43:13 | Answers (3) | 收藏

设 $f$ 是环面 $T^n$ 上的一个可积函数, $T^n\cong\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\cong S^1\times\cdots\times S^1$.

$f$ 的 Fourier 级数定义为 $\mathbb{Z}^n$ 上的一个函数

\[
\hat{f}(k):=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)e^{-ik\cdot\theta}d\theta
\]

这里 $k=(k_1,\ldots,k_n)$, $k\cdot\theta=k_1\theta_1+k_2\theta_2+\cdots+k_n\theta_n$. 记

\[
\mathcal{F}f(k):=\hat{f}(k).
\]

于是我们得到一个连续的线性映射

\[
\mathcal{F}:\ L^1(T^n)\rightarrow\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n).
\]

这里 $\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n)$ 指 $\mathbb{Z}^n$ 上的具有上确界范数的有界线性函数全体.【Ex: 证明线性性】

 

如果 $f\in C^{\infty}(T^n)$, 则通过分部积分可得到等式【请验证】

\[
k^{\alpha}\hat{f}(k)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}(D^{\alpha}f)(\theta)e^{-k\cdot\theta}d\theta,
\]

其中 $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ 是多重指标, $k^{\alpha}=k_1^{\alpha_1}\cdots k_n^{\alpha_n}$, 且

\[
D^{\alpha}=D_1^{\alpha_1}\cdots D_n^{\alpha_n},\quad D_j=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial\theta_j}.
\]

容易看出, $\mathcal{F}$ 是从 $C^{\infty}(T^n)$ 到 $s(\mathbb{Z}^n)$ 的映射. 即

\[
\mathcal{F}:\ C^{\infty}(T^n)\rightarrow s(\mathbb{Z}^n).
\]

这里的 $s(\mathbb{Z}^n)$ 是指由定义在 $\mathbb{Z}^n$ 上的速降函数组成的. 所谓的速降函数(rapidly decreasing) 是指对每个 $N$, 有

\[
p_N(u):=\sup_{k\in\mathbb{Z}^n}\langle k\rangle^N |u(k)| < \infty.
\]

这里采用的记号含义是: $\langle k\rangle:=(1+|k|^2)^{1/2}$, $|k|^2=k_1^2+\cdots+k_n^2$.

 

对于 $f,g\in C^{\infty}(T^n)$ 或更一般的 $f,g\in L^2(T^n)$, 定义内积

\[
(f,g)=(f,g)_{L^2}:=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)\overline{g(\theta)}d\theta.
\]

对于 $u,v\in s(\mathbb{Z}^n)$ 或更一般的 $u,v\in \ell^2(\mathbb{Z}^n)$, ($\ell^2(\mathbb{Z}^n)$ 即指定义在 $\mathbb{Z}^n$ 上的所有分量平方和有限的函数集合.) 定义内积

\[
(u,v)=(u,v)_{\ell^2}:=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)\overline{v(k)}.
\]

则有下面的公式【请验证】

\[
(\mathcal{F}f,u)_{\ell^2}=(f,\mathcal{F}^* u)_{L^2},
\]

这里“拉回” $\mathcal{F}^*\ :s(\mathbb{Z}^n)\rightarrow C^{\infty}(T^n)$ 的定义为

\[
(\mathcal{F}^* u)(\theta):=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)e^{ik\cdot\theta}.
\]

 

另一个有用的恒等式是

\[
\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}e^{ik\cdot\theta}\cdot e^{-i\ell\cdot\theta}d\theta=\delta_{k\ell}.
\]


References:

译自 Michael E. Taylor, http://www.unc.edu/math/Faculty/met/chap3.pdf

2

证明:三角多项式的 Fourier 展开就是自身.

Posted by haifeng on 2015-08-24 13:32:32 last update 2015-08-24 13:34:23 | Answers (1) | 收藏

证明:三角多项式的 Fourier 展开就是自身.

3

三角函数系

Posted by haifeng on 2015-08-24 13:30:19 last update 2015-08-24 13:34:10 | Answers (0) | 收藏

\[
1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \ldots,\ \cos nx,\ \sin nx,\ \ldots
\]

记为 $\{\varphi_i(x)\}_{i=1}^{\infty}$. 则有

\[
\int_{-\pi}^{\pi}\varphi_i(x)\varphi_j(x)dx=0,
\]

此即三角函数系的正交性.

称 $a_0+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 为三角多项式, $a_0+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$ 为三角级数.

设 $f(x)$ 为 $[-\pi,\pi]$ 上的可积函数, 令

\[
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kxdx,\quad b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kxdx,
\]

称 $a_0,a_k,b_k$ 为 $f(x)$ 的 Fourier 系数. 称 

\[
\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

为函数 $f(x)$ 的 Fourier 级数或 Fourier 展开. 记

\[
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

4

1.1 $L^p$ 和 弱 $L^p$

Posted by haifeng on 2013-07-22 17:48:28 last update 2013-07-23 14:21:09 | Answers (0) | 收藏

基本概念和记号

设 $X$ 是一个测度空间, $\mu$ 是 $X$ 上面的一个正测度, 不一定是有限的测度.

对于 $p\in(0,\infty)$, $L^p(X,\mu)$ 指 $X$ 上 $\mu$-可测且其模的 $p$-次方是可积的复值函数的集合.

\[
L^p(X,\mu):=\{f:X\rightarrow\mathbb{C} \mbox{是} \mu -\mbox{可测的}\mid \int_X|f|^pd\mu < +\infty\}
\]

$L^\infty(X,\mu)$ 指 $X$ 上某些 $\mu$-可测复值函数的集合, 它们满足下面的条件, 对于某个正数 $B$, 模大于 $B$ 的原像集合的 $\mu$-测度为零. 即

\[
L^\infty(X,\mu):=\{f:X\rightarrow\mathbb{C} \mbox{是} \mu -\mbox{可测的}\mid \mbox{存在某个正数} B, 使得集合 \{x:\ |f(x)| > B\} 具有零测度集.\}
\]


设 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$ 是 $L^p(X,\mu)$ 中的一列函数. 证明

(a)(Minkowski 不等式) 对 $p\in [1,\infty]$, 有

\[
\Bigl\|\sum_{j=1}^{\infty}f_j\Bigr\|_{L^p}\leq\sum_{j=1}^{\infty}\|f_j\|_{L^p}
\]

(b)(Minkowski 不等式) 对 $p\in (0,1)$, 如果 $f_j\geq 0$, 则有反向不等式

\[
\sum_{j=1}^{\infty}\|f_j\|_{L^p}\leq\Bigl\|\sum_{j=1}^{\infty}f_j\Bigr\|_{L^p}
\]

(c) 对 $p\in (0,1)$, 存在某个常数 $C_N$ (与诸函数 $f_j$ 无关), 使得

\[
\Bigl\|\sum_{j=1}^{N}f_j\Bigr\|_{L^p}\leq C_N\sum_{j=1}^{N}\|f_j\|_{L^p}
\]

成立. 其中 $C_N$ 最小可取为 $N^{\frac{1-p}{p}}$.

 

5

调和分析参考书

Posted by haifeng on 2013-07-22 17:13:33 last update 2013-07-22 17:13:33 | Answers (0) | 收藏

Loukas Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis (傅里叶分析)


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