为寻求可能的最简单的解, 我们假设 $v(x,y)$ 是可分离变量的, 即设 $v(x,y)=F(x)\cdot f(y)$. (?? 为什么可以这样假设??, 首先已经指出, 这里为了尝试先得到最简单的解, 不妨假设 $v(x,y)$ 是可分离变量的. )
事实上, 从物理的角度, 对于固定的 $y_0$ 和 $y_1$, 这里 $y_0,y_1\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, 温度曲线 $\varphi_0(x):=v(x,y_0)$ 和 $\varphi_1(x):=v(x,y_1)$ 没有实质差别. 因此, 我们可以假设 $v(x,y)=F(x)\cdot f(y)$. （但也许是错的.）
由于
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}&=F''(x)\cdot f(y)\\
\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}&=F(x)\cdot f''(y)\\
\end{aligned}
\]
故方程 $\dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0$ 化为 $F''(x)\cdot f(y)+F(x)\cdot f''(y)=0$. 由于温度函数 $v(x,y) > 0$, 故两边可以除以 $F(x)f(y)$, 得
\[\frac{F''(x)}{F(x)}+\frac{f''(y)}{f(y)}=0.\]
然后, 仍是基于为了求出最简单解的准则(复杂的留给以后处理), 不妨设 $\dfrac{F''(x)}{f(x)}=m^2$, $\dfrac{f''(y)}{f(y)}=-m^2$. 这里 $m > 0$ 为常数.
根据问题2638 的求解, 得
\[
\begin{aligned}
F(x)&=C_1 e^{mx}+C_2 e^{-mx}\\
f(y)&=C_3\cos(my)+C_4 i\sin(my)
\end{aligned}
\]
由于 $v(x,y)$ 是实函数, 故 $C_4=0$. $C_i$ 是常数, $\cos(my)$ 有界, 故 $C_1=0$, 因为当 $x\rightarrow+\infty$ 时, 温度应该接近于0. 因此 $v(x,y)$ 中不可能含有 $e^{mx}$ 这一项. 因此, $F(x)=C_2 e^{-mx}$, $f(y)=C_3\cos(my)$. 也即
\[
v(x,y)=F(x)\cdot f(y)=C_2 C_3 e^{-mx}\cos(my),
\]
这里 $C_2, C_3$ 都不为零.
由条件 $v(x,\pm\frac{\pi}{2})=0$, $\forall\ x\in(0,+\infty)$, 可得 $C_2 C_3e^{-mx}\cos(\frac{m\pi}{2})=0$. 此推出 $\cos(\frac{m\pi}{2})=0$, 即 $m=1,3,5,\ldots$.
但是由条件 $v(0,y)=1$, $\forall\ y\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, 可得 $C_2 C_3\cos(my)=1$. 这无法做到. 事实上, 这表明要么热传导模型有问题, 要么上面假设 $v(x,y)$ 可分离变量不正确, 要么 $v(x,y)$ 不仅仅与 $x,y$ 有关, 还与时间有关系. 即 $v(x,y)$ 应该写为 $v(x,y,t)$.
《热的解析理论》中是这么说的:
为把一般方程（实立方体中变化的热运动方程和固体内热传导的一般方程）:
\[
\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{k}{CD}(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2})
\]
应用于此处的薄片 $D$, 我们必须假定 $z$ 坐标可以忽略, 因而 $\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}$ 可略去. 由于我们要确定的是稳定温度, 故 $\frac{\partial v}{\partial t}=0$. 于是方程简化为
\[
\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=0.
\]
现在, 我们认为单纯假设 $v(x,y)=F(x)\cdot f(y)$ 是不对的.
为了使温度函数 $v(x,y)$ 满足边界条件 $v(0,y)=1$, $\forall\ y\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, 考虑函数
\[
\begin{split}
v(x,y)&=a_1 e^{-x}\cos(y)+a_2 e^{-3x}\cos(3y)+a_3 e^{-5x}\cos(5y)+a_4 e^{-7x}\cos(7y)+\cdots\\
&=\sum_{k=1}^{+\infty}a_k e^{-(2k-1)x}\cos((2k-1)y)
\end{split}
\]
