问题及解答

设 $f$ 是环面 $T^n$ 上的一个可积函数, $T^n\cong\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\cong S^1\times\cdots\times S^1$.

$f$ 的 Fourier 级数定义为 $\mathbb{Z}^n$ 上的一个函数

\[
\hat{f}(k):=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)e^{-ik\cdot\theta}d\theta
\]

这里 $k=(k_1,\ldots,k_n)$, $k\cdot\theta=k_1\theta_1+k_2\theta_2+\cdots+k_n\theta_n$. 记

\[
\mathcal{F}f(k):=\hat{f}(k).
\]

于是我们得到一个连续的线性映射

\[
\mathcal{F}:\ L^1(T^n)\rightarrow\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n).
\]

这里 $\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n)$ 指 $\mathbb{Z}^n$ 上的具有上确界范数的有界线性函数全体.【Ex: 证明线性性】

如果 $f\in C^{\infty}(T^n)$, 则通过分部积分可得到等式【请验证】

\[
k^{\alpha}\hat{f}(k)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}(D^{\alpha}f)(\theta)e^{-k\cdot\theta}d\theta,
\]

其中 $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ 是多重指标, $k^{\alpha}=k_1^{\alpha_1}\cdots k_n^{\alpha_n}$, 且

\[
D^{\alpha}=D_1^{\alpha_1}\cdots D_n^{\alpha_n},\quad D_j=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial\theta_j}.
\]

容易看出, $\mathcal{F}$ 是从 $C^{\infty}(T^n)$ 到 $s(\mathbb{Z}^n)$ 的映射. 即

\[
\mathcal{F}:\ C^{\infty}(T^n)\rightarrow s(\mathbb{Z}^n).
\]

这里的 $s(\mathbb{Z}^n)$ 是指由定义在 $\mathbb{Z}^n$ 上的速降函数组成的. 所谓的速降函数(rapidly decreasing) 是指对每个 $N$, 有

\[
p_N(u):=\sup_{k\in\mathbb{Z}^n}\langle k\rangle^N |u(k)| < \infty.
\]

这里采用的记号含义是: $\langle k\rangle:=(1+|k|^2)^{1/2}$, $|k|^2=k_1^2+\cdots+k_n^2$.

对于 $f,g\in C^{\infty}(T^n)$ 或更一般的 $f,g\in L^2(T^n)$, 定义内积

\[
(f,g)=(f,g)_{L^2}:=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)\overline{g(\theta)}d\theta.
\]

对于 $u,v\in s(\mathbb{Z}^n)$ 或更一般的 $u,v\in \ell^2(\mathbb{Z}^n)$, ($\ell^2(\mathbb{Z}^n)$ 即指定义在 $\mathbb{Z}^n$ 上的所有分量平方和有限的函数集合.) 定义内积

\[
(u,v)=(u,v)_{\ell^2}:=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)\overline{v(k)}.
\]

则有下面的公式【请验证】

\[
(\mathcal{F}f,u)_{\ell^2}=(f,\mathcal{F}^* u)_{L^2},
\]

这里“拉回” $\mathcal{F}^*\ :s(\mathbb{Z}^n)\rightarrow C^{\infty}(T^n)$ 的定义为

\[
(\mathcal{F}^* u)(\theta):=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)e^{ik\cdot\theta}.
\]

另一个有用的恒等式是

\[
\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}e^{ik\cdot\theta}\cdot e^{-i\ell\cdot\theta}d\theta=\delta_{k\ell}.
\]

References:

译自 Michael E. Taylor, http://www.unc.edu/math/Faculty/met/chap3.pdf

\[
\begin{split}
\mathcal{F}(f+g)(k)&=\widehat{f+g}(k)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}(f+g)(\theta)e^{-k\cdot\theta}d\theta\\
&=\frac{1}{(2\pi)^n}\biggl[\int_{T^n}f(\theta)e^{-k\cdot\theta}d\theta+\int_{T^n}g(\theta)e^{-k\cdot\theta}d\theta\biggr]\\
&=\hat{f}(k)+\hat{g}(k)\\
&=\mathcal{F}f(k)+\mathcal{F}g(k).
\end{split}
\]

另外显然有 $\mathcal{F}(\lambda f)(k)=\lambda\mathcal{F}f(k)$.

映射 $\mathcal{F}:\ L^1(T^n)\rightarrow\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n)$ 的连续性也可由积分导出.

设 $f\in C^{\infty}(T^n)$,

\[
\begin{split}
\hat{f}(k)&=\frac{1}{(2\pi)^m}\int_{T^n}f(\theta)e^{-ik\cdot\theta}d\theta\\
&=\frac{1}{(2\pi)^m}\int_{T^n}f(\theta)e^{-ik_1\theta_1+\cdots+k_n\theta_n}d\theta_1\cdots d\theta_n\\
&=\frac{1}{(2\pi)^m}\int_{T^n}f(\theta)e^{-ik_1\theta_1}d\theta_1\cdot e^{-ik_2\theta_2}d\theta_2\cdots e^{-ik_n\theta_n}d\theta_n\\
&=\frac{1}{(2\pi)^m}\int_{T^n}f(\theta)\cdot\frac{1}{-ik_1}de^{-ik_1\theta_1}\cdot\frac{1}{-ik_2}de^{-ik_2\theta_2}\cdots\frac{1}{-ik_n}de^{-ik_n\theta_n}\\
\end{split}
\]

先对 $\theta_1$ 作分部积分, 则有

\[
\begin{split}
=&\frac{1}{(2\pi)^n}\biggl[\frac{1}{-ik_1}e^{-ik_1\theta_1}f(\theta)\cdot\Bigl(\frac{1}{-ik_2}de^{-ik_2\theta_2}\cdots\frac{1}{-ik_n}de^{-ik_n\theta_n}\Bigr)\biggr|_{\partial T^n}\\
&\quad -\int_{T^n}\frac{1}{-ik_1}e^{-ik_1\theta_1}\frac{\partial}{\partial\theta_1}f(\theta)d\theta_1\cdot\Bigl(\frac{1}{-ik_2}de^{-ik_2\theta_2}\cdots\frac{1}{-ik_n}de^{-ik_n\theta_n}\Bigr)\biggr].
\end{split}
\]

由于 $T^n$ 是无边的, 故

\[
=\frac{1}{(2\pi)^n}\cdot\frac{1}{k_1}\int_{T^n}\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial\theta_1}(f(\theta))e^{-ik_1\theta_1}\Bigl(\frac{1}{-ik_2}de^{-ik_2\theta_2}\cdots\frac{1}{-ik_n}de^{-ik_n\theta_n}\Bigr)d\theta_1
\]

依次进行分部积分, 可得

\[
\begin{split}
&=\frac{1}{k_1^{\alpha_1}\cdots k_n^{\alpha_n}}\cdot\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}\Bigl(\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial\theta_1}\Bigr)^{\alpha_1}(f(\theta))\cdot\Bigl(\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial\theta_2}\Bigr)^{\alpha_2}(f(\theta))\cdots\Bigl(\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial\theta_n}\Bigr)^{\alpha_n}(f(\theta))\cdot e^{-i(k_1\theta_1+k_2\theta_2+\cdots+k_n\theta_n)}d\theta_1 d\theta_2\cdots d\theta_n\\
&=\frac{1}{k^{\alpha}}\cdot\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}(D_1^{\alpha_1}D_2^{\alpha_2}\cdots D_n^{\alpha_n})f(\theta)\cdot e^{-ik\cdot\theta}d\theta.
\end{split}
\]

因此, 有

\[
k^{\alpha}\cdot\hat{f}(k)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}(D^{\alpha}f)(\theta)\cdot e^{-ik\cdot\theta}d\theta .
\]

\[
\begin{split}
(f,\mathcal{F}^* u)_{L^2}&=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)\overline{(\mathcal{F}^* u)(\theta)}d\theta\\
&=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)\overline{\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)e^{ik\cdot\theta}}d\theta\\
&=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\overline{u(k)}e^{-ik\cdot\theta}d\theta\\
&=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)e^{-ik\cdot\theta}d\theta\cdot\overline{u(k)}\\
&=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}\hat{f}(k)\overline{u(k)}\\
&=(\hat{f},u)_{\ell^2}=(\mathcal{F}f,u)_{\ell^2}.
\end{split}
\]