Fourier 级数
设 $f$ 是环面 $T^n$ 上的一个可积函数, $T^n\cong\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\cong S^1\times\cdots\times S^1$.
$f$ 的 Fourier 级数定义为 $\mathbb{Z}^n$ 上的一个函数
\[
\hat{f}(k):=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)e^{-ik\cdot\theta}d\theta
\]
这里 $k=(k_1,\ldots,k_n)$, $k\cdot\theta=k_1\theta_1+k_2\theta_2+\cdots+k_n\theta_n$. 记
\[
\mathcal{F}f(k):=\hat{f}(k).
\]
于是我们得到一个连续的线性映射
\[
\mathcal{F}:\ L^1(T^n)\rightarrow\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n).
\]
这里 $\ell^{\infty}(\mathbb{Z}^n)$ 指 $\mathbb{Z}^n$ 上的具有上确界范数的有界线性函数全体.【Ex: 证明线性性】
如果 $f\in C^{\infty}(T^n)$, 则通过分部积分可得到等式【请验证】
\[
k^{\alpha}\hat{f}(k)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}(D^{\alpha}f)(\theta)e^{-k\cdot\theta}d\theta,
\]
其中 $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ 是多重指标, $k^{\alpha}=k_1^{\alpha_1}\cdots k_n^{\alpha_n}$, 且
\[
D^{\alpha}=D_1^{\alpha_1}\cdots D_n^{\alpha_n},\quad D_j=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial\theta_j}.
\]
容易看出, $\mathcal{F}$ 是从 $C^{\infty}(T^n)$ 到 $s(\mathbb{Z}^n)$ 的映射. 即
\[
\mathcal{F}:\ C^{\infty}(T^n)\rightarrow s(\mathbb{Z}^n).
\]
这里的 $s(\mathbb{Z}^n)$ 是指由定义在 $\mathbb{Z}^n$ 上的速降函数组成的. 所谓的速降函数(rapidly decreasing) 是指对每个 $N$, 有
\[
p_N(u):=\sup_{k\in\mathbb{Z}^n}\langle k\rangle^N |u(k)| < \infty.
\]
这里采用的记号含义是: $\langle k\rangle:=(1+|k|^2)^{1/2}$, $|k|^2=k_1^2+\cdots+k_n^2$.
对于 $f,g\in C^{\infty}(T^n)$ 或更一般的 $f,g\in L^2(T^n)$, 定义内积
\[
(f,g)=(f,g)_{L^2}:=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}f(\theta)\overline{g(\theta)}d\theta.
\]
对于 $u,v\in s(\mathbb{Z}^n)$ 或更一般的 $u,v\in \ell^2(\mathbb{Z}^n)$, ($\ell^2(\mathbb{Z}^n)$ 即指定义在 $\mathbb{Z}^n$ 上的所有分量平方和有限的函数集合.) 定义内积
\[
(u,v)=(u,v)_{\ell^2}:=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)\overline{v(k)}.
\]
则有下面的公式【请验证】
\[
(\mathcal{F}f,u)_{\ell^2}=(f,\mathcal{F}^* u)_{L^2},
\]
这里“拉回” $\mathcal{F}^*\ :s(\mathbb{Z}^n)\rightarrow C^{\infty}(T^n)$ 的定义为
\[
(\mathcal{F}^* u)(\theta):=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n}u(k)e^{ik\cdot\theta}.
\]
另一个有用的恒等式是
\[
\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{T^n}e^{ik\cdot\theta}\cdot e^{-i\ell\cdot\theta}d\theta=\delta_{k\ell}.
\]
References:
译自 Michael E. Taylor, http://www.unc.edu/math/Faculty/met/chap3.pdf