问题及解答

基本概念和记号

设 $X$ 是一个测度空间, $\mu$ 是 $X$ 上面的一个正测度, 不一定是有限的测度.

对于 $p\in(0,\infty)$, $L^p(X,\mu)$ 指 $X$ 上 $\mu$-可测且其模的 $p$-次方是可积的复值函数的集合.

\[
L^p(X,\mu):=\{f:X\rightarrow\mathbb{C} \mbox{是} \mu -\mbox{可测的}\mid \int_X|f|^pd\mu < +\infty\}
\]

$L^\infty(X,\mu)$ 指 $X$ 上某些 $\mu$-可测复值函数的集合, 它们满足下面的条件, 对于某个正数 $B$, 模大于 $B$ 的原像集合的 $\mu$-测度为零. 即

\[
L^\infty(X,\mu):=\{f:X\rightarrow\mathbb{C} \mbox{是} \mu -\mbox{可测的}\mid \mbox{存在某个正数} B, 使得集合 \{x:\ |f(x)| > B\} 具有零测度集.\}
\]

设 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$ 是 $L^p(X,\mu)$ 中的一列函数. 证明

(a)(Minkowski 不等式) 对 $p\in [1,\infty]$, 有

\[
\Bigl\|\sum_{j=1}^{\infty}f_j\Bigr\|_{L^p}\leq\sum_{j=1}^{\infty}\|f_j\|_{L^p}
\]

(b)(Minkowski 不等式) 对 $p\in (0,1)$, 如果 $f_j\geq 0$, 则有反向不等式

\[
\sum_{j=1}^{\infty}\|f_j\|_{L^p}\leq\Bigl\|\sum_{j=1}^{\infty}f_j\Bigr\|_{L^p}
\]

(c) 对 $p\in (0,1)$, 存在某个常数 $C_N$ (与诸函数 $f_j$ 无关), 使得

\[
\Bigl\|\sum_{j=1}^{N}f_j\Bigr\|_{L^p}\leq C_N\sum_{j=1}^{N}\|f_j\|_{L^p}
\]

成立. 其中 $C_N$ 最小可取为 $N^{\frac{1-p}{p}}$.