问题及解答

本书中所有函数均假设是复值的. 除非特别指明. 

设 $k$ 是一正函数. 记 $C^k(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上 $k$ 次连续可微函数全体.

\[
C^{\infty}(\Omega):=\{f\in C^k(\Omega)\mid\forall\ k\in\mathbb{N}\},
\]

即 $C^{\infty}(\Omega)$ 是 $\Omega$ 上光滑函数的全体. 对于 $E\subset\mathbb{R}^n$, 记 $C(E)$ 为 $E$ 上连续函数全体.

由于拉普拉斯算子(Laplacian $\Delta$)作用在 $C^2(\Omega)$ 上是线性的, 故调和函数的(有限或无限)和、数乘仍是调和函数.

对于正数 $r$, 及 $\Omega$ 上的函数 $u$, $u$ 的 $r$-伸缩(dilate), 记为 $u_r$, 定义为

\[
u_r(x)=u(rx),
\]

其定义域为 $\frac{1}{r}\Omega=\{\frac{1}{r}\omega\ :\ \omega\in\Omega\}$.

若 $u\in C^2(\Omega)$, 则 $\Delta(u_r)=r^2(\Delta u)_r$, $x\in\frac{1}{r}\Omega$.

因而,

Prop. 调和函数的伸缩(有时也称为位似变换)仍是调和的.

注意到拉普拉斯算子 $\Delta=D_1^2+\cdots+D_n^2$ 与函数 $|x|^2=x_1^2+\cdots+x_n^2$ 在形式上的相似性, 后者的等位集(水平集, level sets)是中心在原点的球面, 调和函数与球面之间的联系是调和函数理论中的中心议题. 下一节即将讨论的平均值性质是此联系的最好体现. 另一层联系涉及到 $\mathbb{R}^n$ 上保持球面的线性变换, 这种变换被称为正交变换(orthogonal transformation). 

线性映射 $T:\ \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ 被称为是正交的, 当且仅当 $|Tx|=|x|$, $\forall\ x\in\mathbb{R}^n$. 也等价于保持内积, 即

\[\langle Tx, Ty\rangle=\langle x, y\rangle,\quad\forall\ x,y\in\mathbb{R}^n.\]

(证明之.)

现在我们证明拉普拉斯算子与正交变换是可交换的.

Prop. 若 $T$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$(应记为 $\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n, |\cdot|)$) 上的正交变换, $u\in C^2(\Omega)$, 则

\[
\Delta(u\circ T)=(\Delta u)\circ T\quad\text{在}\ T^{-1}(\Omega)\ \text{上}.
\]

Pf. 设正交变换 $T$ 在 $\mathbb{R}^n$ 的标准基下对应的矩阵为 $(t_{jk})_{n\times n}$, 则

\[
D_m(u\circ T)=\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\cdot(D_j u)\circ T.
\]

这里 $D_m$ 指关于第 $m$ 个分量求偏导数. 

从而

\[
\begin{split}
\Delta(u\circ T)&=\sum_{m=1}^{n}D_m^2(u\circ T)=\sum_{m=1}^{n}D_m\Bigl(\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\cdot(D_j u)\circ T\Bigr)\\
&=\sum_{m=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\sum_{k=1}^{n}t_{km}\cdot(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j,k=1}^{n}\Bigl(\sum_{m=1}^{n}t_{jm}t_{km}\Bigr)(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j,k=1}^{n}\delta_{jk}(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j=1}^{n}(D_j D_j u)\circ T\\
&=(\Delta u)\circ T.
\end{split}
\]

函数 $u\circ T$ 称为 $u$ 的旋转, 上面的计算表面, 调和函数的旋转仍是调和函数.

翻译自[1] [GTM137] Chapter 1  Basic Properties of Harmonic Functions.

Section 2. Invariance Properties.

References.

[1]  Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey,  Harmonic Function Theory.  (Second Edition)  

Prop. 调和函数的伸缩(有时也称为位似变换)仍是调和的.

Pf.

设 $u(x)\in C^2(\Omega)$ 是 $\Omega$ 上的调和函数. $u$ 的 $r$-伸缩是 $u_r=u(rx)$, $x\in\frac{1}{r}\Omega$. (注意这里 $r$ 是常数, 并不是 $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$.)

\[
\frac{\partial}{\partial x_i}u(rx)=u'_{x_i}\cdot r
\]

\[
\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}u(rx)=u''_{x_i}\cdot r^2=r^2\cdot u''_{x_i}(rx).
\]

于是,

\[
\Delta(u_r)=\Delta(u(rx))=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\bigl(u(rx)\bigr)=r^2\cdot(\Delta u)_r.
\]

证明: $|Tx|=|x|$, $\forall\ x\in\mathbb{R}^n$ 等价于保持内积.

Pf.

($\Leftarrow$, 充分性)  取 $y=x$, 则

\[
\langle Tx, Tx\rangle=\langle x, x\rangle
\]

即 $|Tx|^2=|x|^2$, 故 $|Tx|=|x|$.

($\Rightarrow$, 必要性) 

考虑向量 $v=x+y$, 由 $|Tv|=|v|$, 知 $|T(x+y)|=|x+y|$. 此推出

\[
\begin{split}
&\langle T(x+y), T(x+y)\rangle=\langle x+y, x+y\rangle\\
\Rightarrow\ &\langle Tx+Ty, Tx+Ty\rangle=\langle x+y, x+y\rangle\\
\Rightarrow\ &\langle Tx, Tx\rangle+\langle Tx, Ty\rangle+\langle Ty, Tx\rangle+\langle Ty, Ty\rangle=\langle x, x\rangle+\langle x, y\rangle+\langle y, x\rangle+\langle y, y\rangle\\
\Rightarrow\ & |Tx|^2+2\langle Tx, Ty\rangle+|Ty|^2=|x|^2+2\langle x, y\rangle+|y|^2
\end{split}
\]

由于 $|Tx|=|x|$, $|Ty|=|y|$, 故 $\langle Tx, Ty\rangle=\langle x, y\rangle$, 对所有 $x,y\in\mathbb{R}^n$ 成立.

也就是说线性变换 $T$ 在 $\mathbb{R}^n$ 的某组基下的矩阵是正交矩阵.  Q.E.D.

Claim.

\[D_m(u\circ T)=\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\cdot (D_j u)\circ T\]

Pf. 

\[
(u\circ T)(x)=u(Tx)=u((t_{jk})_{n\times n}\cdot (x_1,\ldots,x_n)^t),
\]

因此

\[
\begin{split}
D_m\bigl((u\circ T)(x)\bigr)&=D_m(u(Tx))\\
&=\frac{\partial}{\partial x_m}u((t_{jk})_{n\times n}\cdot (x_1,\ldots,x_n)^t)\\
&=\sum_{j=1}^{n}(D_j u)(Tx)\cdot\frac{\partial}{\partial x_m}\Bigl(\sum_{k=1}^{n}t_{jk}x_k\Bigr)\\
&=\sum_{j=1}^{n}(D_j u)(Tx)\cdot t_{jm}.
\end{split}
\]

这里倒数第二个等号应用了复合函数求导法则. 因此,

\[
D_m(u\circ T)=\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\cdot(D_j u)\circ T.
\]