[GTM137/Chapter1/Sec2]调和函数的不变性
本书中所有函数均假设是复值的. 除非特别指明.
设 $k$ 是一正函数. 记 $C^k(\Omega)$ 为 $\Omega$ 上 $k$ 次连续可微函数全体.
\[
C^{\infty}(\Omega):=\{f\in C^k(\Omega)\mid\forall\ k\in\mathbb{N}\},
\]
即 $C^{\infty}(\Omega)$ 是 $\Omega$ 上光滑函数的全体. 对于 $E\subset\mathbb{R}^n$, 记 $C(E)$ 为 $E$ 上连续函数全体.
由于拉普拉斯算子(Laplacian $\Delta$)作用在 $C^2(\Omega)$ 上是线性的, 故调和函数的(有限或无限)和、数乘仍是调和函数.
对于正数 $r$, 及 $\Omega$ 上的函数 $u$, $u$ 的 $r$-伸缩(dilate), 记为 $u_r$, 定义为
\[
u_r(x)=u(rx),
\]
其定义域为 $\frac{1}{r}\Omega=\{\frac{1}{r}\omega\ :\ \omega\in\Omega\}$.
若 $u\in C^2(\Omega)$, 则 $\Delta(u_r)=r^2(\Delta u)_r$, $x\in\frac{1}{r}\Omega$.
因而,
Prop. 调和函数的伸缩(有时也称为位似变换)仍是调和的.
注意到拉普拉斯算子 $\Delta=D_1^2+\cdots+D_n^2$ 与函数 $|x|^2=x_1^2+\cdots+x_n^2$ 在形式上的相似性, 后者的等位集(水平集, level sets)是中心在原点的球面, 调和函数与球面之间的联系是调和函数理论中的中心议题. 下一节即将讨论的平均值性质是此联系的最好体现. 另一层联系涉及到 $\mathbb{R}^n$ 上保持球面的线性变换, 这种变换被称为正交变换(orthogonal transformation).
线性映射 $T:\ \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ 被称为是正交的, 当且仅当 $|Tx|=|x|$, $\forall\ x\in\mathbb{R}^n$. 也等价于保持内积, 即
\[\langle Tx, Ty\rangle=\langle x, y\rangle,\quad\forall\ x,y\in\mathbb{R}^n.\]
(证明之.)
现在我们证明拉普拉斯算子与正交变换是可交换的.
Prop. 若 $T$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$(应记为 $\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n, |\cdot|)$) 上的正交变换, $u\in C^2(\Omega)$, 则
\[
\Delta(u\circ T)=(\Delta u)\circ T\quad\text{在}\ T^{-1}(\Omega)\ \text{上}.
\]
Pf. 设正交变换 $T$ 在 $\mathbb{R}^n$ 的标准基下对应的矩阵为 $(t_{jk})_{n\times n}$, 则
\[
D_m(u\circ T)=\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\cdot(D_j u)\circ T.
\]
这里 $D_m$ 指关于第 $m$ 个分量求偏导数.
从而
\[
\begin{split}
\Delta(u\circ T)&=\sum_{m=1}^{n}D_m^2(u\circ T)=\sum_{m=1}^{n}D_m\Bigl(\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\cdot(D_j u)\circ T\Bigr)\\
&=\sum_{m=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}t_{jm}\sum_{k=1}^{n}t_{km}\cdot(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j,k=1}^{n}\Bigl(\sum_{m=1}^{n}t_{jm}t_{km}\Bigr)(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j,k=1}^{n}\delta_{jk}(D_k D_j u)\circ T\\
&=\sum_{j=1}^{n}(D_j D_j u)\circ T\\
&=(\Delta u)\circ T.
\end{split}
\]
函数 $u\circ T$ 称为 $u$ 的旋转, 上面的计算表面, 调和函数的旋转仍是调和函数.
翻译自[1] [GTM137] Chapter 1 Basic Properties of Harmonic Functions.
Section 2. Invariance Properties.
References.
[1] Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey, Harmonic Function Theory. (Second Edition)