问题及解答

 

这里的调和函数是定义在欧氏空间中某个开子集上的. 记 $\Omega$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中的开集.  $n\in\mathbb{N}$. ($\mathbb{N}$ 是自然数集, 不包括 0.)

 

定义 1. ($\Omega$ 上的调和函数).  设 $u$ 是 $\Omega$ 上定义的二次连续可微复值函数. 若满足 $\Delta u\equiv 0$, 则称 $u$ 在 $\Omega$ 上是调和的. 这里

\[\Delta=D_1^2+D_2^2+\cdots+D_n^2.\]

$D_j^2$ 指对第 $j$ 个坐标分量求二阶偏导数. 算子 $\Delta$ 称为 Laplacian, 方程 $\Delta u\equiv 0$ 称为 Laplace 方程.

 

定义 2.  称定义于某个集合 $E\subset\mathbb{R}^n$ (不必是开集)上的函数 $u$ 在 $E$ 上是调和的, 若 $u$ 可以延拓为包含 $E$ 的某个开集上的调和函数.

 

记 $x=(x_1,\ldots,x_n)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的点, 令 $|x|=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2}$ 为 $x$ 的欧氏范数.

最简单的非常值调和函数的例子是坐标函数 $x_j$. 例如 $u(x)=x_1$. 稍微复杂一点的例子如 $\mathbb{R}^3$ 上定义的

\[u(x)=x_1^2+x_2^2-2x_3^2+ix_2.\]

 

例.  令 $u(x)=|x|^{2-n}$, $(n > 2)$, 证明 $u(x)$ 在 $\Omega=\mathbb{R}^n\subset\{0\}$ 上是调和的.

 

通过微分可以获得更多调和函数的例子. 注意到对于光滑函数, $\Delta$ 算子与任何偏导运算均可交换. 特别地, 对于 $u(x)=|x|^{2-n}$, 求 $\partial_{1}=\dfrac{\partial}{\partial x_1}$, 有

\[
\partial_1 u(x)=\dfrac{\partial}{\partial x_1}u(x)=(2-n)x_1(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}}=(2-n)x_1|x|^{-n}
\]

因此, $x_1|x|^{-n}$ ($n > 2$)也是 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上的调和函数.

我们将证明每个调和函数都是无穷次可微的, 于是, 调和函数的任意偏导函数仍是调和函数.

事实上, 

Claim 1. $x_1|x|^{-n}$ 对于 $n = 2$ 也是 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上的调和函数.

 

Claim 2. $\log |x|$ 是 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上的调和函数.

注意 Claim 1 可以作为 Claim 2 的推论, 因为 $\frac{\partial}{\partial x_1}\log |x|=x_1|x|^{-2}$.

 

函数 $\log |x|$ 在 $n=2$ 时扮演的角色与 $|x|^{2-n}$ 在 $n>2$ 时扮演的角色是一样的. 注意到 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log|x|=\infty$, 但是 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}|x|^{2-n}=0$. $\log|x|$ 既无上界也无下界, 而 $|x|^{2-n}$ 总是正的.

这暗示了在平面上的调和函数理论与高维时的调和函数理论有重大差别.

另一个主要的区别来自于平面上全纯函数与调和函数的联系:

$\Omega\subset\mathbb{R}^2$ 上的一个实值函数是调和的当且仅当局部上它是某个全纯函数的实部.

而在高维时没有相应的结果.

 

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翻译自[1] [GTM137] Chapter 1  Basic Properties of Harmonic Functions.

Section 1. Definitions and Examples.

 

References.

[1]  Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey,  Harmonic Function Theory.  (Second Edition)  

(1)  对于 $u(x)=x_1^2+x_2^2-2x_3^2+ix_2$,

\[
\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}u(x)=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}(x_1^2+x_2^2-2x_3^2+ix_2)=2,
\]

\[
\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}u(x)=\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}(x_1^2+x_2^2-2x_3^2+ix_2)=2,
\]

\[
\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}u(x)=\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}(x_1^2+x_2^2-2x_3^2+ix_2)=-4,
\]

因此

\[
\Delta u(x)=(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_3^2})u(x)=2+2-4=0.
\]

故 $u(x)$ 是 $\mathbb{R}^3$  上的调和函数.

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(2) 设 $u(x)=|x|^{2-n}$, ($n > 2$) 

这里 $x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$.

Pf. 

\[
|x|^{2-n}=(|x|^2)^{\frac{2-n}{2}}=(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{1-\frac{n}{2}},
\]

\[
\frac{\partial}{\partial x_i}|x|^{2-n}=(1-\frac{n}{2})\cdot(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}}\cdot 2x_i,
\]

\[
\begin{split}
\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}|x|^{2-n}&=(1-\frac{n}{2})(-\frac{n}{2})\cdot(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}-1}\cdot 4x_i^2+(1-\frac{n}{2})\cdot(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}}\cdot 2\\
&=(2-n)(-n)\cdot(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}-1}\cdot x_i^2+(2-n)\cdot(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}}\\
&=(2-n)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}-1}\cdot\Bigl[-nx_i^2+(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\Bigr]\\
\end{split}
\]

因此,

\[
\begin{split}
\Delta|x|^{2-n}&=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}|x|^{2-n}\\
&=\sum_{i=1}^{n}(2-n)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}-1}\cdot\Bigl[-nx_i^2+(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\Bigr]\\
&=(2-n)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}-1}\cdot\Bigl[\bigl(\sum_{i=1}^{n}(-nx_i^2)\bigr)+n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\Bigr]\\
&=(2-n)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{-\frac{n}{2}-1}\cdot\Bigl[-n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)+n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\Bigr]\\
&=0.
\end{split}
\]

因此, $u(x)=|x|^{2-n}$ 是 $\Omega=\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上的调和函数.

Claim. $x_i|x|^{-n}$ 在 $n=2$ 时也是调和函数.

Pf.  记 $u(x)=x_i|x|^{-2}$.

首先注意到

\[
\frac{\partial}{\partial x_i}|x|=\frac{\partial}{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}=\frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}}=\frac{x_i}{|x|},
\]

因此, 

\[
\frac{\partial}{\partial x_i}\log|x|=\frac{1}{|x|}\cdot\frac{x_i}{|x|}=x_i|x|^{-2}.
\]

由于 $\log|x|$ 是 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上的调和函数, 故 $u(x)=x_i|x|^{-2}$ 也是.

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(法二，直接验证)

\[
\partial_i u(x)=\frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{x_i}{|x|^2})=\frac{1\cdot|x|^2-x_i\cdot 2|x|\cdot\frac{x_i}{|x|}}{|x|^4}=\frac{|x|^2-2x_i^2}{|x|^4}=\frac{1}{|x|^2}-\frac{2x_i^2}{|x|^4}
\]

\[
\begin{split}
\partial_i^2 u(x)&=\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}(\frac{x_i}{|x|^2})=\frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{1}{|x|^2}-\frac{2x_i^2}{|x|^4})\\
&=-\frac{1}{|x|^4}\cdot 2|x|\cdot\frac{x_i}{|x|}-\frac{4x_i|x|^4-2x_i^2\cdot 4|x|^3\cdot\frac{x_i}{|x|}}{|x|^8}\\
&=-\frac{2x_i}{|x|^4}-\frac{4x_i}{|x|^4}+\frac{8x_i^3}{|x|^6}\\
&=-\frac{6x_i}{|x|^4}+\frac{8x_i^3}{|x|^6}
\end{split}
\]

当 $j\neq i$ 时,

\[
\partial_j u(x)=\frac{\partial}{\partial x_j}(\frac{x_i}{|x|^2})=x_i\cdot\frac{-1}{|x|^4}\cdot 2|x|\cdot\frac{x_j}{|x|}=-\frac{2x_i x_j}{|x|^4}
\]

\[
\begin{split}
\partial_j^2 u(x)&=\frac{\partial^2}{\partial x_j^2}(\frac{x_i}{|x|^2})=\frac{\partial}{\partial x_j}(-\frac{2x_i x_j}{|x|^4})\\
&=(-2x_i)\cdot\frac{\partial}{\partial x_j}(\frac{x_j}{|x|^4})\\
&=(-2x_i)\cdot\frac{1\cdot|x|^4-x_j\cdot 4|x|^3\cdot\frac{x_j}{|x|}}{|x|^8}\\
&=(-2x_i)\cdot\frac{|x|^2-4x_j^2}{|x|^6}
\end{split}
\]

因此,

\[
\begin{split}
\Delta u(x)&=\Delta(\frac{x_i}{|x|^2})=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_j^2}(\frac{x_i}{|x|^2})\\
&=\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}(\frac{x_i}{|x|^2})+\sum_{j=1\\ j\neq i}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_j^2}(\frac{x_i}{|x|^2})\\
&=\Bigl(-\frac{6x_i}{|x|^4}+\frac{8x_i^3}{|x|^6}\Bigr)+\sum_{j=1\\ j\neq i}^{n}(-2x_i)\cdot\frac{|x|^2-4x_j^2}{|x|^6}\\
&=-\frac{6x_i}{|x|^4}+\frac{8x_i^3}{|x|^6}+\frac{-2x_i}{|x|^4}\cdot(n-1)+8x_i\cdot\sum_{j=1\\ j\neq i}^{n}\frac{x_j^2}{|x|^6}\\
&=\Bigl(-\frac{6x_i}{|x|^4}+\frac{-2x_i}{|x|^4}\cdot(n-1)\Bigr)+\frac{8x_i^3}{|x|^6}+\frac{8x_i}{|x|^6}(x_1^2+\cdots+\widehat{x_i^2}+\cdots+x_n^2)\\
&=-\frac{8x_i}{|x|^4}+\frac{8x_i}{|x|^6}\cdot(x_1^2+\cdots+x_n^2)\\
&=-\frac{8x_i}{|x|^4}+\frac{8x_i}{|x|^4}\\
&=0.
\end{split}
\]

注意这里倒数第三个等号是因为 $n=2$.

因此 $u(x)=x_i|x|^{-2}$ 是 $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ 上的调和函数.

Claim 2. 证明 $\Delta\log |x|\equiv 0$, $\forall\ x\in\mathbb{R}^2-\{0\}$.

Pf. 

\[
\frac{\partial}{\partial x_i}\log |x|=\frac{1}{|x|}\cdot\frac{\partial}{\partial x_i}|x|=\frac{1}{|x|}\cdot\frac{x_i}{|x|}=\frac{x_i}{|x|^2}.
\]

\[
\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\log |x|=\frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{x_i}{|x|^2})=\frac{1\cdot|x|^2-x_i\cdot 2|x|\cdot\frac{x_i}{|x|}}{|x|^4}=\frac{|x|^2-2x_i^2}{|x|^4}
\]

因此,

\[
\begin{split}
\Delta\log|x|&=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\log |x|\\
&=\sum_{i=1}^{n}\frac{|x|^2-2x_i^2}{|x|^4}\\
&=\frac{n}{|x|^2}-\frac{2}{|x|^4}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\\
&=\frac{n}{|x|^2}-\frac{2}{|x|^2}\\
&=\frac{n-2}{|x|^2}\\
&=0.
\end{split}
\]

注意最后一个等号是因为 $n=2$.

因此, $u(x)=\log|x|$ 是 $\mathbb{R}^2-\{0\}$ 上的调和函数.