[GTM137/Chapter1/Sec3] 调和函数的均值性质(平均值性质)
调和函数的均值性质
调和函数的许多基本性质来自于下面的 Green 第二恒等式
\[
\int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}(uD_{\vec{n}} v-vD_{\vec{n}} u)\mathrm{d}S.\qquad(1.1)
\]
(我们经常用到的是 $\Omega$ 是球($B(p,r)$)的特殊情形. )
这里 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界开集, 有光滑的边界, 并且 $u,v$ 是 $\overline{\Omega}$ 某个邻域上的 $C^2$-函数. ($\overline{\Omega}$ 指 $\Omega$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的闭包.)
$V=V_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的 Lebesgue 体积测度, $S$ 表示 $\partial\Omega$ 上的面积测度. (附录(Appendix) A 中有关于球和球面上积分的讨论.)
记号 $D_{\vec{n}}$ 指代关于外法向量 $\vec{n}$ 的方向导数. (注意下面的 $D_n$ 指 $\partial_{x_n}=\frac{\partial}{\partial x_n}$.) 于是对于 $\zeta\in\partial D$,
\[
(D_{\vec{n}}u)(\zeta)=(\nabla u)(\zeta)\cdot\vec{n}(\zeta),
\]
其中 $\nabla u=(D_1 u,\ldots, D_n u)$ 指 $u$ 的梯度(gradient), $\cdot$ 表示通常的欧氏内积.
Green 恒等式 (1.1) 可由高等微积分中的熟知的散度定理推出.
\[
\int_{\Omega}\mathrm{div}\vec{W}\mathrm{d}V=\int_{\partial\Omega}\vec{W}\cdot\vec{n}\mathrm{d}S\qquad(1.2)
\]
其中 $\vec{W}=(w_1,\ldots,w_n)$ 是 $\overline{\Omega}$ 的某个邻域上的 $\mathbb{C}^n$-值函数, 即光滑复值向量场(a $\mathbb{C}^n$-valued function whose components are continuously differentiable).
$\vec{W}$ 的散度定义为
\[\mathrm{div}\vec{W}:=D_1 w_1+\cdots+D_n w_n.\]
为从散度定理得到 Green 恒等式, 只需令 $\vec{W}=u\nabla v-v\nabla u$, 代入计算即可(详见问题642).
当 $u$ 是调和函数, $v\equiv 1$, 则由 (1.1) 得到下面 Green 恒等式的一个有用形式:
\[
\int_{\partial\Omega}D_{\vec{n}}u\mathrm{d}S=0.
\]
Green 恒等式是证明均值性质的关键. 在讲均值性质之前, 我们介绍几个记号:
$B(a,r)=\{x\in\mathbb{R}^n : |x-a| < r\}$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ (准确地, 应该是 $\mathbb{E}^n=(\mathbb{R}^n,d)$) 中以 $a$ 为圆心, $r$ 为半径的开球; 其闭包是闭球 $\overline{B}(a,r)$; 单位球 $B(0,1)$ 被简记为 $B$, 其闭包记为 $\overline{B}$. 当维数很重要需要指明时, 就写为 $B_n$. $B$ 的边界, 单位球面被记为 $S$; $S$ 上的正则化面积测度(normalized surface-area measure) 被记为 $\sigma$ (即使得 $\sigma(S)=1$). 测度 $\sigma$ 是 $S$ 上唯一的 Borel probability measure, 即是旋转不变的. 所谓测度是旋转不变是指 $\sigma(T(E))=\sigma(E)$ 对每个 Borel 集 $E\subset S$ 和每个正交变换 $T$ 都成立.
1.4 均值性质.
若 $u$ 是 $\overline{B}(a,r)$ 上的调和函数, 则 $u(a)$ 等于 $u$ 在 $\partial B(a,r)$ 上的平均值. 确切的,
\[
u(a)=\int_S u(a+r\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta).
\]
证明: 首先假设 $n > 2$. 不失一般性, 我们可以假设 $B(a,r)=B$. 固定某个 $\varepsilon\in(0,1)$. 考虑 $\Omega=\{x\in\mathbb{R}^n : \varepsilon < |x| < 1\}$, 并设 $v(x)=|x|^{2-n}$. 对 $\Omega$ 和 $u$, $v$ 应用 Green 第二恒等式. 注意 $v(x)$ 是 $\mathbb{R}^n-\{0\}$ 上的调和函数(见问题2651). $\partial\Omega$ 有两部分组成, $S=\{x\in\mathbb{R}^n : |x|=1\}$ 和 $\varepsilon S$. 这里 $x\in S$ 处的单位外法向量 $\hat{v}$ 或 $\vec{n}$ 就是 $x$; 而 $\varepsilon S$ 的单位外法向量指向球心. 因此 $\int_{\partial\Omega}=\int_S-\int_{\varepsilon S}$.
\[
\int_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\mathrm{d}V=\int_{\Omega}(u\cdot 0-v\cdot 0)\mathrm{d}V=0.
\]
Green 第二恒等式的另一端, 注意到 $v(x)=|x|^{2-n}$, 故 $v\Bigr|_{S}=1$, $v\Bigr|_{\varepsilon S}=\varepsilon^{2-n}$.
\[
\begin{split}
&\int_{\partial\Omega}(uD_{\vec{n}}v-vD_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S\\
=&\int_{S}(uD_{\vec{n}}v-vD_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}(uD_{\vec{n}}v-vD_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S\\
=&\int_{S}(uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}-D_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}(uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}-\varepsilon^{2-n}D_{\vec{n}}u)\mathrm{d}S\\
=&\int_{S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S-\biggl[\int_{S}D_{\vec{n}}u\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}\varepsilon^{2-n}D_{\vec{n}}u\mathrm{d}S\biggr]\\
=&\int_{S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S
\end{split}
\]
最后一个等号是因为上一行中括号中的两项是0, 应用了 $\Omega$ 上的调和函数 $u$, 其沿边界外法向量的方向导数在边界上的积分为0. ($\int_{\partial\Omega}D_{\vec{n}}u\mathrm{d}S=0$.)
下面计算剩下两项的积分. 这里必须要注意, $v(x)$ 限制在 $S$ 上等于常数 1, 不代表 $D_{\vec{n}}v=D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=0$. 事实上, $D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=\nabla |x|^{2-n}\cdot\hat{v}$, 而
\[
\begin{split}
\nabla |x|^{2-n}&=(\partial_{x_1},\ldots,\partial_{x_n})(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{\frac{2-n}{2}}\\
&=\frac{2-n}{2}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{\frac{2-n}{2}-1}\cdot(2x_1,2x_2,\ldots,2x_n)\\
&=(2-n)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^{\frac{-n}{2}}\cdot(x_1,x_2,\ldots,x_n)\\
&=(2-n)|x|^{-n}\vec{x}
\end{split}
\]
从而,
\[D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=\nabla |x|^{2-n}\cdot\hat{v}\]
当限制在 $S$ 上, $\hat{v}=\vec{x}$, 从而
\[D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=\nabla |x|^{2-n}\cdot\hat{v}=(2-n)|x|^{-n}\vec{x}\cdot\vec{x}=(2-n)|x|^{-n}|x|^2=(2-n)|x|^{2-n}\]
值为 $2-n$.
当限制在 $\varepsilon S$ 上时, 注意此时 $\hat{v}$ 仍是单位向量, 且 $\hat{v}=\frac{\vec{x}}{\varepsilon}$, 故
\[D_{\vec{n}}|x|^{2-n}=\nabla |x|^{2-n}\cdot\hat{v}=(2-n)|x|^{-n}\vec{x}\cdot\frac{\vec{x}}{\varepsilon}=\frac{2-n}{\varepsilon}|x|^{-n}|x|^2=\frac{2-n}{\varepsilon}|x|^{2-n},\]
值为 $(2-n)\varepsilon^{1-n}$.
于是
\[
\begin{split}
0=&\int_{S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}uD_{\vec{n}}|x|^{2-n}\mathrm{d}S\\
=&\int_{S}u\cdot(2-n)\mathrm{d}S-\int_{\varepsilon S}u\cdot(2-n)\varepsilon^{1-n}\mathrm{d}S\\
=&(2-n)\int_{S}u\mathrm{d}S-(2-n)\varepsilon^{1-n}\int_{\varepsilon S}u\mathrm{d}S
\end{split}
\]
推出
\[
\int_{S}u\mathrm{d}S=\varepsilon^{1-n}\int_{\varepsilon S}u\mathrm{d}S
\]
注意这里等式两端的体积元 $\mathrm{d}S$ 并不一样. 右端 $\int_{\varepsilon S}u(x)\mathrm{d}S$ 中的体积元 $\mathrm{d}S$ 是 $\varepsilon S$ 上的体积元, 乘上系数 $\varepsilon^{1-n}$ 后即为单位球面 $S$ 上的体积元. (也就是说, 右端 $\varepsilon^{1-n}\mathrm{d}S=\mathrm{d}S_1$, 这里不妨用 $\mathrm{d}S_1$ 表示单位球面的体积元, 它和左边的 $\mathrm{d}S$ 是一样的.) 于是得到
\[
\int_{S}u\mathrm{d}S_1=\int_{\varepsilon S}u\mathrm{d}S_1
\]
接着, 进行换元. 令 $x=\varepsilon\zeta$, 这里 $\zeta\in S$, 则
\[
\int_{\varepsilon S}u(x)\mathrm{d}S=\int_{S}u(\varepsilon\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta).
\]
因此有
\[
\int_{S}u\mathrm{d}S=\int_{S}u(\varepsilon\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta).
\]
令 $\varepsilon\rightarrow 0$, 并利用 $u(x)$ 在原点处的连续性, 得
\[
\int_{S}u(\varepsilon\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta)\quad\rightarrow\quad\int_{S}u(0)\mathrm{d}S=u(0).
\]
即得到了公式
\[
u(0)=\int_{S}u(x)\mathrm{d}S.
\]
$n=2$ 的情形是类似的, 此时令 $v(x)=\log |x|$.
证毕.
1.5 关于 $\mathbb{R}^n$ 上积分的极坐标公式
调和函数也有关于体积测度的平均值性质. 关于 $\mathbb{R}^n$ 上积分的极坐标公式是不可或缺的. 该公式表述的是, 对于 $\mathbb{R}^n$ 上的一个 Borel 可测也可积的函数 $f$, 有
\[
\frac{1}{nV(B)}\int_{\mathbb{R}^n}f\mathrm{d}V=\int_0^{\infty}r^{n-1}\int_S f(r\zeta)\mathrm{d}\sigma(\zeta)\mathrm{d}r.
\]
(参见[15], Chapter 8, Exercise 6.) 常数 $nV(B)$ 来自于 $\sigma$ 的正规化(选取 $f$ 为 $B$ 的特征函数, 可证 $nV(B)$ 是正确的系数.)
1.6 体积版本的均值性质
若 $u$ 是 $\bar{B}(a,r)$ 上的调和函数, 则 $u(a)$ 等于 $u$ 在 $B(a,r)$ 上的平均值. 确切地,
\[
u(a)=\frac{1}{V(B(a,r))}\int_{B(a,r)}u\mathrm{d}V.
\]
证明: 我们可以假设 $B(a,r)=B$. 令 $f$ 为 $u$ 乘以 $B$ 上的特征函数, 应用极坐标公式 1.5, 然后利用球面上的均值性质(定理 1.4) 即可. Q.E.D.
我们后面(1.24 和 1.25)会看到, 均值性质刻画了调和函数.
我们用均值性质的一个应用来结束本节. 我们已经看到一个实值调和函数可能会有一个孤立(不可去)奇点; 例如, $|x|^{2-n}$ 当 $n > 2$ 时在 0 处有一个孤立奇点. 但是, 一个实值调和函数 $u$ 不会存在孤立零点.
1.7 推论: 实值调和函数的零点永远不会是孤立的.
证明: 假设 $u$ 是 $\Omega$ 上的实值调和函数, $a\in\Omega$ 是 $u$ 的一个零点, 即 $u(a)=0$. 设 $r > 0$ 且使得 $\bar{B}(a,r)\subset\Omega$. 根据调和函数的均值性质, $u$ 在 $\partial B(a,r)$ 上的平均值等于 $u(a)$, 即为 0, 因此, $u$ 要么在 $\partial B(a,r)$ 上恒等于 0, 要么在 $\partial B(a,r)$ 上既有正值又有负值. 对于后一种情况, 由 $\partial B(a,r)$ 的连通性又可推出$\partial B(a,r)$ 上存在一点使得 $u(x)=0$.
于是 $u$ 在以 $a$ 为中心的每个很小的球的边界上有一个零点, 故 $a$ 不是孤立零点. Q.E.D.
$u$ 是实值这一前提是前面推论所需的. 这在 $n=2$ 时并不惊讶, 因为非常值的调和函数有孤立的零点. 当 $n\geqslant 2$ 时, 调和函数
\[
(1-n)x_1^2+\sum_{k=2}^{n}x_k^2+ix_1
\]
是一个例子; 它仅在原点处为零.
翻译自[1] [GTM137] Chapter 1 Basic Properties of Harmonic Functions.
Section 3. The Mean-Value Property.
References.
[1] Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey, Harmonic Function Theory. (Second Edition)