Questions in category: 傅里叶分析 (Fourier Analysis)
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1. 写出函数 $f(x)=x-1$, $x\in[0,\pi]$ 的正弦级数.

Posted by haifeng on 2024-01-01 18:55:51 last update 2024-01-01 18:56:13 | Answers (1) | 收藏


写出函数 $f(x)=x-1$, $x\in[0,\pi]$ 的正弦级数.

 

[Hint] 首先将其扩展定义到 $[-\pi,\pi]$, 使其为 $[-\pi,0)\cup(0,\pi]$ 上的奇函数.

2. 证明, 三角多项式的 Fourier 展开就是其本身.

Posted by haifeng on 2024-01-01 15:17:40 last update 2024-01-01 15:18:34 | Answers (1) | 收藏


证明, 三角多项式的 Fourier 展开就是其本身.

 

三角多项式是指

\[
f(x)=a_0+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

 

见 [1] P. 357  习题 10.1


References:

[1]  梅加强 编著 《数学分析》

3. Fourier 系数的估计

Posted by haifeng on 2024-01-01 14:10:14 last update 2024-01-01 14:41:37 | Answers (1) | 收藏


设 $f\in C^{k}([-\pi,\pi])$, 且 $f^{(i)}(-\pi)=f^{(i)}(\pi)$ ($0\leqslant i\leqslant k-1$), 则
\[
a_n=o(\frac{1}{n^k}),\quad b_n=o(\frac{1}{n^k}).
\]

这里 $a_n$ 和 $b_n$ 是 $f$ 的 Fourier 系数.

 

 

见 [1] P.357.


Reference

[1] 梅加强 编著 《数学分析》