写出函数 $f(x)=x-1$, $x\in[0,\pi]$ 的正弦级数.

[Hint] 首先将其扩展定义到 $[-\pi,\pi]$, 使其为 $[-\pi,0)\cup(0,\pi]$ 上的奇函数.

证明, 三角多项式的 Fourier 展开就是其本身.

三角多项式是指

\[
f(x)=a_0+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

见 [1] P. 357  习题 10.1

References:

[1]  梅加强 编著 《数学分析》

设 $f\in C^{k}([-\pi,\pi])$, 且 $f^{(i)}(-\pi)=f^{(i)}(\pi)$ ($0\leqslant i\leqslant k-1$), 则
\[
a_n=o(\frac{1}{n^k}),\quad b_n=o(\frac{1}{n^k}).
\]

这里 $a_n$ 和 $b_n$ 是 $f$ 的 Fourier 系数.

见 [1] P.357.

Reference

[1] 梅加强 编著 《数学分析》