问题及解答

证明, 三角多项式的 Fourier 展开就是其本身.

三角多项式是指

\[
f(x)=a_0+\sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)
\]

见 [1] P. 357  习题 10.1

References:

[1]  梅加强 编著 《数学分析》

为区别 $f(x)$ 中的 $a_k$, $b_k$, 这里暂时记 $f$ 的 Fourier 系数为 $A_k$, $B_k$.

\[
\begin{split}
A_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl[a_0+\sum_{k=1}^{n}a_k\cos kx+\sum_{k=1}^{n}b_k\sin kx\Bigr]\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}a_0\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n}b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\mathrm{d}x\\
&=2a_0+0+0=2a_0,
\end{split}
\]

因此 $\frac{A_0}{2}=a_0$.

当 $1\leqslant k\leqslant n$ 时,

\[
\begin{split}
A_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl[a_0+\sum_{m=1}^{n}a_m\cos mx+\sum_{m=1}^{n}b_m\sin mx\Bigr]\cos kx\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}a_0\cos kx\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi}\sum_{m=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}a_m\cos mx\cos kx\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi}\sum_{m=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}b_m\sin mx\cos kx\mathrm{d}x\\
&=0+\frac{1}{\pi}a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2 kx\mathrm{d}x+0\\
&=\frac{1}{\pi}a_k\cdot\pi=a_k,
\end{split}
\]

当 $k > n$ 时, 显然 $A_k=0$.  类似地,

当 $1\leqslant k\leqslant n$ 时,

\[
\begin{split}
B_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl[a_0+\sum_{m=1}^{n}a_m\cos mx+\sum_{m=1}^{n}b_m\sin mx\Bigr]\sin kx\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}a_0\sin kx\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi}\sum_{m=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}a_m\cos mx\sin kx\mathrm{d}x+\frac{1}{\pi}\sum_{m=1}^{n}\int_{-\pi}^{\pi}b_m\sin mx\sin kx\mathrm{d}x\\
&=0+0+\frac{1}{\pi}b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 kx\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{\pi}b_k\cdot\pi=b_k,
\end{split}
\]

当 $k > n$ 时, 显然 $B_k=0$. 

因此, 三角多项式的 Fourier 级数就是其本身.