问题及解答

设 $f\in C^{k}([-\pi,\pi])$, 且 $f^{(i)}(-\pi)=f^{(i)}(\pi)$ ($0\leqslant i\leqslant k-1$), 则
\[
a_n=o(\frac{1}{n^k}),\quad b_n=o(\frac{1}{n^k}).
\]

这里 $a_n$ 和 $b_n$ 是 $f$ 的 Fourier 系数.

见 [1] P.357.

Reference

[1] 梅加强 编著 《数学分析》

若 $f\in C^1([-\pi,\pi])$

\[
\begin{split}
 b_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x \\
     &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}(\frac{-1}{n}\cos nx) \\
     &=\frac{1}{\pi}\biggl[f(x)\frac{-1}{n}\cos nx\Bigr|_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\cos nx\mathrm{d}x\biggr]  \\
     &=\frac{1}{n}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\cos nx\mathrm{d}x=o(\frac{1}{n}),\quad(\text{Riemann-Lebesgue})
\end{split}
\]
最后一个等号应用了 Riemann-Lebesgue 定理, 注意 $f'(x)$ 连续.

同理可证 $a_n=o(\frac{1}{n})$.

对于 $n\geqslant 1$,
\[
\begin{split}
 a_n &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x \\
     &= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}(\frac{1}{n}\sin nx) \\
     &=\frac{1}{\pi}\biggl[f(x)\frac{1}{n}\sin nx\Bigr|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin nx\mathrm{d}x\biggr]  \\
     &=-\frac{1}{n}\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin nx\mathrm{d}x=o(\frac{1}{n}),\quad(\text{Riemann-Lebesgue})
\end{split}
\]

若 $f\in C^2([-\pi,\pi])$, 则可以继续使用分部积分.

\[
\begin{split}
b_n &=\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\cos nx\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\mathrm{d}(\frac{1}{n}\sin nx)\\
&=\frac{1}{n\pi}\biggl[\frac{1}{n}f'(x)\sin nx\biggr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{n}\sin nx f''(x)\mathrm{d}x\biggr]\\
&=-\frac{1}{n^{2}\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f''(x)\sin nx\mathrm{d}x=o(\frac{1}{n^2}),\quad\text{Riemann-Lebesgue}
\end{split}
\]

最后一个等号应用了 Riemann-Lebesgue 定理, 注意 $f''(x)$ 连续.  $a_n=o(\frac{1}{n^2})$ 的证明是类似的.

\[
\begin{split}
 a_n &=-\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\sin nx\mathrm{d}x \\
     &=\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(x)\mathrm{d}(\frac{1}{n}\cos nx)\\
     &=\frac{1}{n\pi}\biggl[\frac{1}{n}f'(x)\cos nx\biggr|_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{n}\cos nx f''(x)\mathrm{d}x\biggr]\\    
     &=-\frac{1}{n^{2}\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f''(x)\cos nx\mathrm{d}x=o(\frac{1}{n^2}) \quad(\text{Riemann-Lebesgue})
\end{split}
\]

最后一个等号应用了 Riemann-Lebesgue 定理, 注意 $f''(x)$ 连续. 

因此, 不断地使用分部积分, 即可证明结论.