有一束平行于直线 $\ell:\ x=y=-z$ 的平行光照射不透明的球面 $S:\ x^2+y^2+z^2=2z$. 求球面在 $xOy$ 面上留下的阴影部分的边界线方程.

Hint. 先求柱面方程, 然后令 $z=0$ 即可.

记曲面 $z=x^2+y^2-2x-y$ 在区域 $D:\ x\geqslant 0, y\geqslant 0, 2x+y\leqslant 4$ 上的最低点 $P$ 处的切平面为 $\pi$, 曲线

\[
\Gamma:\ \left\{
\begin{aligned}
x^2+y^2+z^2 &=6,\\
x+y+z &=0
\end{aligned}
\right.
\]

在点 $Q(1,1,-2)$ 处的切线为 $\ell$, 求点 $P$ 到直线 $\ell$ 在平面 $\pi$ 上的投影 $\ell'$ 的距离 $d$.

讨论三个平面

\[
\begin{aligned}
\pi_1:\ A_1 x+B_1 y+C_1 z=D_1,\\
\pi_2:\ A_2 x+B_2 y+C_2 z=D_2,\\
\pi_3:\ A_3 x+B_3 y+C_3 z=D_3,\\
\end{aligned}
\]

的位置关系, 画出图形, 并说明理由.

利用矩阵的秩, 讨论直线

\[
L:\ \begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,\\
\end{cases}
\]

与平面 $\pi:\ Ax+By+Cz=D$ 的位置关系. 

求直线 $L:\ \frac{x}{a}=\frac{y-b}{0}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的曲面方程, 并指出它为何曲面, 其中 $a,b$ 为常数.

在三维欧氏空间中给定 $n$ 个点 $A_1,\ldots,A_n$, 给定 $n$ 个实数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, 适合 $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\neq 0$. 

试证: 对任意点 $Q$, 在此空间中唯一存在与 $Q$ 无关的点 $P$, 使得

\[
\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\overrightarrow{QA_i}=(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i)\overrightarrow{QP}.
\]

Hint.

令 $\mu_i=\frac{\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i}$, 则 $\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i=1$. 问题等价于找到点 $P$, 使得

\[
\sum_{i=1}^{n}\mu_i\overrightarrow{QA_i}=\overrightarrow{QP}.
\]

注: 此为第五届全国大学生数学夏令营(1991年7月)第一试试题

已知四点 $A=(1,2,7)$, $B=(4,3,3)$, $C=(5,-1,6)$, $D=(\sqrt{7},\sqrt{7},0)$. 试求过这四点的球面方程.

已知二次曲面 $\Sigma$ (非退化)过以下九点:

\[
\begin{aligned}
A(1,0,0),\quad B(1,1,2),\quad C(1,-1,-2),\\
D(3,0,0),\quad E(3,1,2),\quad F(3,-2,-4),\\
G(0,1,4),\quad H(3,-1,-2),\quad I(5,2\sqrt{2},8).
\end{aligned}
\]

问 $\Sigma$ 是哪一类曲面?

设直线 $\ell_1$, $\ell_2$ 的方程分别为

\[
\ell_1:\quad\frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-8}{1},
\]

\[
\ell_2:\quad\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}.
\]

1) 证明 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 异面;

2) 求它们的公垂线方程;

3) 求连接 $\ell_1$ 上的任一点和 $\ell_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方程.

注: 此为第六届中国大学生数学竞赛预赛题目(数学类 2014年10月)

已知函数 $f(x)=e^x+ax$.

(1) 设曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线与直线 $x+(e-1)y=1$ 垂直, 求 $a$ 的值;

(2) 若对任意实数 $x\geqslant 0$, $f(x) > 0$ 恒成立. 确定实数 $a$ 的取值范围.