问题及解答

设 $(x_0,y_0)$ 是二次曲线 $F(x,y)=0$ 上的一点, 求此曲线过点 $(x_0,y_0)$ 的切线方程.

由 $dF(x,y)\equiv 0$ 可得 $F_x dx+F_y dy=0$. 从而 $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$. 于是曲线在点 $(x_0,y_0)$ 处切线的斜率是

\[
k_0=-\frac{F_x}{F_y}\biggr|_{(x_0,y_0)}.
\]

因此该切线方程为:

\[
y-y_0=k_0(x-x_0)=-\frac{F_x}{F_y}\biggr|_{(x_0,y_0)}(x-x_0).
\]
 

Exer:

设曲线 $\Sigma$ 的方程为 $F(x,y)=13x^2+16xy+5y^2+2x+2y-2=0$. 容易验证 $P=(-1,1)$ 是曲线 $\Sigma$上一点. 求此曲线过点 $P$ 的切线方程.

Answer: $2x+y+1=0$.