问题及解答

有一束平行于直线 $\ell:\ x=y=-z$ 的平行光照射不透明的球面 $S:\ x^2+y^2+z^2=2z$. 求球面在 $xOy$ 面上留下的阴影部分的边界线方程.

Hint. 先求柱面方程, 然后令 $z=0$ 即可.

该束平行光与球面相切的形成一个柱面. 要写出此柱面方程, 需找到准线和母线. 母线平行于 $\ell$, 其方向向量是 $(1,1,-1)$. 而准线是垂直于 $\ell$ 的平面与球面 $S$ 相交所得的圆.

过球心 $(0,0,1)$ 与 $\ell$ 垂直的平面 $\pi$ 方程为

\[
1\cdot(x-0)+1\cdot(y-0)+(-1)\cdot(z-1)=0,
\]

即 $x+y-z+1=0$. 于是 $\pi$ 与球面 $S$ 的交线(即柱面的准线) $\Gamma$ 为

\[
\left\{
\begin{aligned}
x+y-z+1&=0,\\
x^2+y^2+(z-1)^2&=1.
\end{aligned}
\right.
\]

如果记 $\Sigma$ 为所求柱面. 那么点 $M\in\Sigma$ 当且仅当过点 $M$ 平行于母线 $\ell$ 的直线必与准线 $\Gamma$ 相交.

为此, 任取 $M(x,y,z)\in\Sigma$, 过 $M$ 作平行于 $\ell$ 的直线, 设交 $\Gamma$ 于点 $P(u,v,w)$. 则这条直线为

\[
\frac{x-u}{1}=\frac{y-v}{1}=\frac{z-w}{-1}=t,
\]

即有

\[
u=x-t,\quad v=y-t,\quad w=z+t.
\]

由于 $P\in\Gamma$, 故将 $P=(x-t,y-t,z+t)$ 代入 $\Gamma$ 的方程, 得

\[
\left\{
\begin{aligned}
(x-t)+(y-t)-(z+t)+1&=0,\\
(x-t)^2+(y-t)^2+(z+t-1)^2 &=1.\\
\end{aligned}
\right.
\]

整理得

\[
\left\{
\begin{aligned}
x+y-z+1&=3t,\\
x^2+y^2+z^2-2(x+y-z)t-2z+3t^2-2t&=0.
\end{aligned}
\right.
\]

由第一式得 $t=\frac{1}{3}(x+y-z+1)$, 将其代入第二式, 整理得

\[
x^2+y^2+z^2-2(x+y-z)\cdot\frac{1}{3}(x+y-z+1)-2z+\frac{1}{3}(x+y-z+1)^2-\frac{2}{3}(x+y-z+1)=0.
\]

即

\[
x^2+y^2+z^2-2z-\frac{1}{3}(x+y-z+1)^2=0.
\]

最终化简为

\[
x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx-x-y-2z=\frac{1}{2}.
\]

此即柱面的方程. 最后令 $z=0$, 得到投影曲线(椭圆)的方程:

\[
C:\ \left\{
\begin{aligned}
x^2+y^2-xy-x-y&=\frac{1}{2},\\
z&=0.
\end{aligned}
\right.
\]

注: 作线性变换

\[
X=\frac{x-y}{\sqrt{2}},\quad Y=\frac{x+y-2}{\sqrt{2}},
\]

可将 $C$ 的方程表示为 $\frac{X^2}{1}+\frac{Y^2}{3}=1$. 注意上述变换的 Jacobian 为 1. 从而可知 $C$ 所围成的椭圆面积为 $\pi ab=\sqrt{3}\pi$.

从另一角度也可直接算出 $C$ 围成的椭圆的面积. 事实上, 圆周 $\Gamma$ 所谓的面积为 $\pi$, 圆周 $\Gamma$ 所在平面法向量为

\[
(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1).
\]

于是曲线 $C$ 所围成的面积为 $\frac{\pi}{|\cos\gamma|}=\sqrt{3}\pi$.