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几何 >> 解析几何
Questions in category: 解析几何 (Cartesian geometry).

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1

三维空间中两条异面直线, 求其公垂线

Posted by haifeng on 2016-09-01 10:38:48 last update 2016-09-01 10:38:48 | Answers (1) | 收藏

设 $L_1$ 和 $L_2$ 是空间中两异面直线. 设在标准直角坐标系下直线 $L_1$ 过坐标为 $a$ 的点, 以单位向量 $v$ 为直线方向; 直线 $L_2$ 过坐标为 $b$ 的点, 以单位向量 $w$ 为直线方向.

(1) 证明: 存在唯一的点 $P\in L_1$ 和 $Q\in L_2$, 使得两点连线 $PQ$ 同时垂直于 $L_1$ 和 $L_2$.

(2) 求 $P$ 和 $Q$ 的坐标(用 $a,b,v,w$ 表示).

 

2

三维欧氏空间中的三个彼此正交的单位向量

Posted by haifeng on 2016-04-08 21:15:31 last update 2016-04-08 21:29:46 | Answers (0) | 收藏

三维欧氏空间中, 设 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ 是三个彼此正交的单位向量. 不妨记

\[
\vec{a}_i=(x_1,x_2,x_3)^T,\quad i=1,2,3.
\]

证明 

\[
x_1^2+x_2^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2=z_1^2+z_2^2+z_3^2=1.
\]

 


[Hint] 这道题当然不难. 若记 $A=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)$, 则 $A$ 是一个 3 阶正交矩阵. 其三个行向量当然也是彼此正交的单位向量.

有意思的是, 这道题可以不用矩阵的知识来理解.

考虑 $x$ 轴上的单位向量 $e_1=(1,0,0)$. 注意到两条相交直线上向量投影之间的关系(用到了全等三角形). 具体的,

$\vec{a}_i$ 在 $x$ 轴上的投影的长度等于 $e_1$ 在 $\vec{a}_i$ 所在直线上的投影之长度. 

于是 $e_1$ 在以 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ 为直接坐标系下的坐标为 $(x_1,x_2,x_3)$. 由于 $|e_1|=1$, 因此

\[
x_1^2+x_2^2+x_3^2=1.
\]

另外两个类似证明, 只需考虑 $y,z$ 轴上的单位向量.

 

Remark:

不过要指出的是, 这个证明需要一个基础,就是三维空间中刚体变换保持范数.  所以严格说来,不算初等的证明。

使用矩阵还是最简单的,这三个向量构成的矩阵就是3阶正交矩阵。

3

圆柱体的截面

Posted by haifeng on 2015-08-31 23:24:13 last update 2015-09-01 09:35:51 | Answers (1) | 收藏

有一束平行于直线 $\ell:\ x=y=-z$ 的平行光照射不透明的球面 $S:\ x^2+y^2+z^2=2z$. 求球面在 $xOy$ 面上留下的阴影部分的边界线方程.

 


Hint. 先求柱面方程, 然后令 $z=0$ 即可.

4

点到某直线在某平面上的投影的距离

Posted by haifeng on 2015-08-31 18:22:34 last update 2015-08-31 22:12:52 | Answers (1) | 收藏

记曲面 $z=x^2+y^2-2x-y$ 在区域 $D:\ x\geqslant 0, y\geqslant 0, 2x+y\leqslant 4$ 上的最低点 $P$ 处的切平面为 $\pi$, 曲线

\[
\Gamma:\ \left\{
\begin{aligned}
x^2+y^2+z^2 &=6,\\
x+y+z &=0
\end{aligned}
\right.
\]

在点 $Q(1,1,-2)$ 处的切线为 $\ell$, 求点 $P$ 到直线 $\ell$ 在平面 $\pi$ 上的投影 $\ell'$ 的距离 $d$.

 

5

三个平面的位置关系

Posted by haifeng on 2015-08-31 16:52:51 last update 2015-08-31 16:52:51 | Answers (1) | 收藏

讨论三个平面

\[
\begin{aligned}
\pi_1:\ A_1 x+B_1 y+C_1 z=D_1,\\
\pi_2:\ A_2 x+B_2 y+C_2 z=D_2,\\
\pi_3:\ A_3 x+B_3 y+C_3 z=D_3,\\
\end{aligned}
\]

的位置关系, 画出图形, 并说明理由.

6

直线和平面的位置关系

Posted by haifeng on 2015-08-31 15:47:50 last update 2015-08-31 15:47:50 | Answers (1) | 收藏

利用矩阵的秩, 讨论直线

\[
L:\ \begin{cases}
A_1x+B_1y+C_1z=D_1,\\
A_2x+B_2y+C_2z=D_2,\\
\end{cases}
\]

与平面 $\pi:\ Ax+By+Cz=D$ 的位置关系. 

7

求旋转曲面的方程

Posted by haifeng on 2015-08-31 15:01:17 last update 2015-08-31 15:01:17 | Answers (1) | 收藏

求直线 $L:\ \frac{x}{a}=\frac{y-b}{0}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的曲面方程, 并指出它为何曲面, 其中 $a,b$ 为常数.

8

在三维欧氏空间中给定 $n$ 个点 $A_1,\ldots,A_n$, 给定 $n$ 个实数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, 适合 $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\neq 0$.

Posted by haifeng on 2015-08-27 16:25:13 last update 2015-08-27 17:36:14 | Answers (1) | 收藏

在三维欧氏空间中给定 $n$ 个点 $A_1,\ldots,A_n$, 给定 $n$ 个实数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, 适合 $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\neq 0$. 

试证: 对任意点 $Q$, 在此空间中唯一存在与 $Q$ 无关的点 $P$, 使得

\[
\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\overrightarrow{QA_i}=(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i)\overrightarrow{QP}.
\]


Hint.

令 $\mu_i=\frac{\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i}$, 则 $\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i=1$. 问题等价于找到点 $P$, 使得

\[
\sum_{i=1}^{n}\mu_i\overrightarrow{QA_i}=\overrightarrow{QP}.
\]


注: 此为第五届全国大学生数学夏令营(1991年7月)第一试试题

9

求过给定四点的球面方程

Posted by haifeng on 2015-08-23 23:39:22 last update 2015-08-23 23:39:22 | Answers (1) | 收藏

已知四点 $A=(1,2,7)$, $B=(4,3,3)$, $C=(5,-1,6)$, $D=(\sqrt{7},\sqrt{7},0)$. 试求过这四点的球面方程.

10

通过所经过的九个点, 判断二次曲面属于哪一类曲面

Posted by haifeng on 2015-08-23 23:33:15 last update 2015-08-23 23:33:15 | Answers (1) | 收藏

已知二次曲面 $\Sigma$ (非退化)过以下九点:

\[
\begin{aligned}
A(1,0,0),\quad B(1,1,2),\quad C(1,-1,-2),\\
D(3,0,0),\quad E(3,1,2),\quad F(3,-2,-4),\\
G(0,1,4),\quad H(3,-1,-2),\quad I(5,2\sqrt{2},8).
\end{aligned}
\]

问 $\Sigma$ 是哪一类曲面?

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