问题及解答

求平面上抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=x-2$ 之间的距离.

回忆平面上点到直线的距离公式, 更一般的点到平面的距离公式.

这里直线方程为 $x-y-2=0$. 抛物线上的动点 $P$ 的坐标为 $(x,x^2)$, 于是该点到直线的距离为

\[
d=\frac{|x-x^2-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{x^2-x+2}{\sqrt{2}}=\frac{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}}{\sqrt{2}}
\]

因此, 抛物线到该直线的距离为 $d_{\min}=\frac{7}{4\sqrt{2}}$.