设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{x}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的四个向量, 试证:

\[
(\vec{x}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{c})+(\vec{x}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{x}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0
\]

并由此证明三角形的三边上的高汇于一点.

证明: 过平面上相异五点 $P_i(x_i,y_i)$, $i=1,2,3,4,5$. 有一条惟一的圆锥曲线.

设直线 $\ell$ 与双曲线 $\Gamma:$ $x^2-y^2=2$ ($x>0$) 所围成的面积为 $S$, 是一固定的正数. 证明:

(1) 直线 $\ell$ 被双曲线 $\Gamma$ 所截线段的中点的轨迹为双曲线.

(2) $\ell$ 总是 (1) 中双曲线的切线.

对任何一个非空二次曲面 $\Sigma$ 都存在空间直角坐标系, 使得 $\Sigma$ 在此直角坐标系中的方程是下列 14 种形式之一.

(1) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$,  图像为椭球面.

(2) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=0$,  图像为一点.

(3) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$,  图像为单叶双曲面.

(4) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$,  图像为双叶双曲面.

(5) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2z$,  图像为椭圆抛物面.

(6) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2z$,  图像为双曲抛物面.

(7) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$,  图像为二次锥面.

(8) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,  图像为椭圆柱面.

(9) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$,  图像为一条直线.

(10) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$,  图像为双曲柱面.

(11) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$,  图像为两张相交平面.

(12) $x^2=2py$,  图像为抛物柱面.

(13) $x^2=a^2$,  图像为两张平行平面.

(14) $x^2=0$,  图像为一张平面.

References:

尤承业 编著 《解析几何》 北京大学出版社，2004年

对于二次曲面 $\Sigma$, 若共线之三点 $A,B,C\in\Sigma$, 则它们所在的直线也包含于曲面 $\Sigma$ 内.

Remark: 注意考虑的是二次曲面, 如果举如下的"反例"

\[
y=\sin x,\quad z\in\mathbb{R}
\]

则不符合要求.

1.     向量与坐标
2.     向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.
3.      坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.
4.     向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.
5.      向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.
6.      应用向量求解一些几何、三角问题.
7.     轨迹与方程
8.     曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.
9.     空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
10.     建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.
11.     球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.
12.     平面与空间直线
13.     平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.
14.     从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.
15.     根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.
16.      根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.
17.     二次曲面
18.     柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.
19.     椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.
20.     单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.
21.     根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.
22.     二次曲线的一般理论
23.     二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
24.     二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
25.     二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
26.     二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.
27.     化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
     

从椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的中心引三条相互垂直的射线 $OA$, $OB$, $OC$ 交椭球面于 $A,B,C$ 三点.

试证: $\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}+\frac{1}{|OC|^2}=\text{const}.$

Remark: 这个常数当然是 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.

如果是特殊的球面, 则结论显然成立.

Hint: 设 $A,B,C$ 分别为 $\vec{r}_i=m_i(\cos\alpha_i,\cos\beta_i,\cos\gamma_i)$, $i=1,2,3$.

其中 $m_i$ 为模长, $\alpha_i,\beta_i,\gamma_i$ 为方向角, 即分别与坐标轴 $x,y,z$ 轴正向的夹角.

证明: 三平面

\[
\begin{aligned}
x&=cy+bz,\\
y&=az+cx,\\
z&=bx+ay,\\
\end{aligned}
\]

经过同一条直线的充要条件是: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$.

Hint: 改写成线性方程组的形式. 注意三个平面都经过原点, 因此只要再有一个非原点的共同点即可.

这等价于说线性方程组有非零解.

设 $S$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的抛物面 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$, $P=(a,b,c)$ 为 $S$ 外一固定点, 满足 $a^2+b^2>2c$. 过 $P$ 作 $S$ 的所有切线.

证明: 这些切线的切点落在同一张平面上.

Remark: $a^2+b^2>2c$ 这个条件就是保证 $P$ 点在抛物面的“外面”.  由于此抛物面开口向上, 可以认为 $P$ 点在抛物面的“下方”.

Answer: 所有切点都落在平面 $ax+by-z=c$ 上.

特别的, 如果 $P=(0,0,c)$, $c<0$. 则所有切点都落在平面 $z=-c$ 上.

平面 $\mathbb{R}^2$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点. 将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周(无滑动)滚动一周, 这时, $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动. 记 $\Gamma$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线, 称为心脏线(cardioid).

现设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置(切点)为圆心的圆, 其半径为 $R$. 记

\[
\gamma:\ \mathbb{R}^2\cup\{\infty\}\rightarrow\mathbb{R}^2\cup\{\infty\}
\]

为圆 $C$ 的反演变换, 它将 $Q\in\mathbb{R}^2\setminus\{P\}$ 映为射线 $PQ$ 上的点 $Q'$, 满足 $|PQ|\cdot|PQ'|=R^2$.

求证: $\gamma(\Gamma)$ 为抛物线.

Hint: 心脏线(cardioid)的方程是 $\rho=a(1-\cos\theta)$

这里, 心脏线的方程为 $\rho=2r(1-\cos\theta)$, 而反演是不改变角度的, 因此反演后的曲线, 方程是

\[
\rho_2=\frac{R^2}{\rho}=\frac{R^2}{2r(1-\cos\theta)}.
\]

回忆圆锥曲线的极坐标方程是

\[
\rho=\frac{ep}{1-e\cos\theta},
\]

其中 $e$ 是离心率(当 $e\in(0,1)$ 时, 曲线是椭圆; 当 $e=1$ 时曲线是抛物线; 当 $e>1$ 时曲线是双曲线.)

$p$ 是焦准距, 即焦点到准线的距离. (注意, 这里椭圆的左焦点设定为极点, 双曲线的右焦点设定为极点.)

注: 此为第五届中国大学生数学竞赛预赛试题(数学类, 2013年10月).