问题及解答

设 $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{x}$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的四个向量, 试证:

\[
(\vec{x}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{c})+(\vec{x}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{x}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0
\]

并由此证明三角形的三边上的高汇于一点.

此恒等式很容易验证成立, 只需展开即可.

\[
\begin{split}
&(\vec{x}-\vec{a})\cdot(\vec{b}-\vec{c})+(\vec{x}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{x}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b})\\
=&\vec{x}\cdot\bigl[(\vec{b}-\vec{c})+(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{a}-\vec{b})\bigr]-\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})-\vec{b}\cdot(\vec{c}-\vec{a})
-\vec{c}\cdot(\vec{a}-\vec{b})\\
=&0.
\end{split}
\]

对于三角形 $ABC$, 我们将它放置于 $\mathbb{R}^3$ 中, 设 $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$, $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$, $\vec{c}=\overrightarrow{OC}$,  并设 $H$ 是 $A,B,C$ 所在平面内一点, $\vec{x}=\overrightarrow{OH}$.  $H$ 满足 $AH\perp BC$ 且 $BH\perp AC$. 我们证明 $CH\perp AB$. 从而三角形的三条高交于一点.

根据上面的恒等式, 我们得

\[
0+0+(\vec{x}-\vec{c})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=0,
\]

因此 $CH\perp AB$.