问题及解答

设直线 $\ell$ 与双曲线 $\Gamma:$ $x^2-y^2=2$ ($x>0$) 所围成的面积为 $S$, 是一固定的正数. 证明:

(1) 直线 $\ell$ 被双曲线 $\Gamma$ 所截线段的中点的轨迹为双曲线.

(2) $\ell$ 总是 (1) 中双曲线的切线.

不放将双曲线绕原点逆时针旋转 $45^{\circ}$, 即考虑双曲线 $y=\frac{1}{x}$. 直线与双曲线能围成一个区域, 则此直线必与双曲线的一支相交于两点. 我们不妨设 $\ell$ 与 $\Gamma$ 相交于点 $(a,\frac{1}{a})$, $(ta,\frac{1}{ta})$. 这里 $t > 1$.

于是此直线 $\ell$ 的斜率为

\[
k_{\ell}=\frac{\frac{1}{ta}-\frac{1}{a}}{ta-a}=-\frac{1}{ta^2}.
\]

直线 $\ell$ 的方程为

\[
y-\frac{1}{a}=-\frac{1}{ta^2}(x-a).
\]

下面计算直线 $\ell$ 与双曲线 $\Gamma$ 所围成的区域面积.

\[
\begin{split}
S&=\frac{1}{2}(\frac{1}{ta}+\frac{1}{a})\cdot(ta-a)-\int_{a}^{ta}\frac{1}{x}dx\\
&=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{t})(t-1)-\ln x\bigr|_{a}^{ta}\\
&=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{t})(t-1)-\ln t.
\end{split}
\]

令 $f(t)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{t})(t-1)-\ln t$. 则 $f(1)=0$, $\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}f(t)=+\infty$. 并且

\[
f'(t)=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{t^2})-\frac{1}{t}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{t})^2 > 0.
\]