问题及解答

证明: 三平面

\[
\begin{aligned}
x&=cy+bz,\\
y&=az+cx,\\
z&=bx+ay,\\
\end{aligned}
\]

经过同一条直线的充要条件是: $a^2+b^2+c^2+2abc=1$.

Hint: 改写成线性方程组的形式. 注意三个平面都经过原点, 因此只要再有一个非原点的共同点即可.

这等价于说线性方程组有非零解.

显然, 三个平面都经过原点, 只要证明它们通过异于原点的某一点即可. 将三个平面方程改写为方程组的形式

\[
\left\{
\begin{aligned}
-x+cy+bz&=0,\\
cx-y+az&=0,\\
bx+ay-z&=0.
\end{aligned}
\right.
\]

此方程组有非零解的充要条件是

\[
\begin{vmatrix}
-1 & c & b\\
c & -1 & a\\
b & a & -1\\
\end{vmatrix}=0,
\]

即 $a^2+b^2+c^2+2abc=1$.