从椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的中心引三条相互垂直的射线 $OA$, $OB$, $OC$ 交椭球面于 $A,B,C$ 三点.
试证: $\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}+\frac{1}{|OC|^2}=\text{const}.$
Remark: 这个常数当然是 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.
如果是特殊的球面, 则结论显然成立.
Hint: 设 $A,B,C$ 分别为 $\vec{r}_i=m_i(\cos\alpha_i,\cos\beta_i,\cos\gamma_i)$, $i=1,2,3$.
其中 $m_i$ 为模长, $\alpha_i,\beta_i,\gamma_i$ 为方向角, 即分别与坐标轴 $x,y,z$ 轴正向的夹角.
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记 $\vec{r}_1=\overrightarrow{OA}$, $\vec{r}_2=\overrightarrow{OB}$, $\vec{r}_3=\overrightarrow{OC}$.
\[
\vec{r}_i=m_i(\cos\alpha_i,\cos\beta_i,\cos\gamma_i),\quad i=1,2,3.
\]
这里 $m_i=|\vec{r}_i|$, $\alpha_i,\beta_i,\gamma_i$ 是 $\vec{r}_i$ 的方向角.
以 $\vec{r}_1,\vec{r}_2,\vec{r}_3$ 为坐标架, 坐标原点不变. 则坐标变换为
\[
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
\cos\alpha_1 & \cos\alpha_2 & \cos\alpha_3\\
\cos\beta_1 & \cos\beta_2 & \cos\beta_3\\
\cos\gamma_1 & \cos\gamma_2 & \cos\gamma_3\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\
y_1\\
z_1\\
\end{bmatrix}
=A\begin{bmatrix}
x_1\\
y_1\\
z_1\\
\end{bmatrix}
\]
其中 $(x_1,y_1,z_1)$ 为新坐标系下的坐标, $(x,y,z)$ 是原来标准坐标系下的坐标.
由于 $OA,OB,OC$ 互相正交, 因此矩阵 $A$ 是正交矩阵. 也就是
\[
\begin{aligned}
\cos^2\alpha_1+\cos^2\alpha_2+\cos^2\alpha_3&=1,\\
\cos^2\beta_1+\cos^2\beta_2+\cos^2\beta_3&=1,\\
\cos^2\gamma_1+\cos^2\gamma_2+\cos^2\gamma_3&=1.\\
\end{aligned}
\]
将 $A,B,C$ 三点坐标代入椭球面方程, 得
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{|OA|^2}&=\frac{\cos^2\alpha_1}{a^2}+\frac{\cos^2\beta_1}{b^2}+\frac{\cos^2\gamma_1}{c^2},\\
\frac{1}{|OB|^2}&=\frac{\cos^2\alpha_2}{a^2}+\frac{\cos^2\beta_2}{b^2}+\frac{\cos^2\gamma_2}{c^2},\\
\frac{1}{|OC|^2}&=\frac{\cos^2\alpha_3}{a^2}+\frac{\cos^2\beta_3}{b^2}+\frac{\cos^2\gamma_3}{c^2}.\\
\end{aligned}
\]
从而三式相加, 得
\[
\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}+\frac{1}{|OC|^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.
\]