问题

从椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的中心引三条相互垂直的射线 $OA$, $OB$, $OC$ 交椭球面于 $A,B,C$ 三点.

试证: $\frac{1}{|OA|^2}+\frac{1}{|OB|^2}+\frac{1}{|OC|^2}=\text{const}.$

Remark: 这个常数当然是 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$.

如果是特殊的球面, 则结论显然成立.

Hint: 设 $A,B,C$ 分别为 $\vec{r}_i=m_i(\cos\alpha_i,\cos\beta_i,\cos\gamma_i)$, $i=1,2,3$.

其中 $m_i$ 为模长, $\alpha_i,\beta_i,\gamma_i$ 为方向角, 即分别与坐标轴 $x,y,z$ 轴正向的夹角.