问题及解答

三维欧氏空间中, 设 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ 是三个彼此正交的单位向量. 不妨记

\[
\vec{a}_i=(x_1,x_2,x_3)^T,\quad i=1,2,3.
\]

证明 

\[
x_1^2+x_2^2+x_3^2=y_1^2+y_2^2+y_3^2=z_1^2+z_2^2+z_3^2=1.
\]

[Hint] 这道题当然不难. 若记 $A=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)$, 则 $A$ 是一个 3 阶正交矩阵. 其三个行向量当然也是彼此正交的单位向量.

有意思的是, 这道题可以不用矩阵的知识来理解.

考虑 $x$ 轴上的单位向量 $e_1=(1,0,0)$. 注意到两条相交直线上向量投影之间的关系(用到了全等三角形). 具体的,

$\vec{a}_i$ 在 $x$ 轴上的投影的长度等于 $e_1$ 在 $\vec{a}_i$ 所在直线上的投影之长度. 

于是 $e_1$ 在以 $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ 为直接坐标系下的坐标为 $(x_1,x_2,x_3)$. 由于 $|e_1|=1$, 因此

\[
x_1^2+x_2^2+x_3^2=1.
\]

另外两个类似证明, 只需考虑 $y,z$ 轴上的单位向量.

Remark:

不过要指出的是, 这个证明需要一个基础，就是三维空间中刚体变换保持范数.  所以严格说来，不算初等的证明。

使用矩阵还是最简单的，这三个向量构成的矩阵就是3阶正交矩阵。