问题及解答

求直线 $L:\ \frac{x}{a}=\frac{y-b}{0}=\frac{z}{1}$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成的曲面方程, 并指出它为何曲面, 其中 $a,b$ 为常数.

直线 $L$ 的参数方程为 $x=at$, $y=b$, $z=t$. $L$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成曲面的参数方程为

\[
S:\ \left\{
\begin{aligned}
&x=\sqrt{(at)^2+b^2}\cos\theta,\\
&y=\sqrt{(at)^2+b^2}\sin\theta,\\
&z=t.
\end{aligned}
\right.
\]

其中 $\theta\in[0,2\pi]$, $t\in(-\infty,+\infty)$. 消去参数 $\theta$ 和 $t$, 得

\[
x^2+y^2=a^2 z^2+b^2.
\]

(1) 当 $a=0,b=0$ 时, $S$ 为 $z$ 轴.

(2) 当 $a=0,b\neq 0$ 时, $S$ 为圆柱面.

(3) 当 $a\neq 0,b=0$ 时, $S$ 为圆锥面.

(4) 当 $a\neq 0,b\neq 0$ 时, $S$ 为旋转单叶双曲面.

注: (1) 若将 $L$ 的方程改写为

\[
\begin{cases}
x=az,\\
y=b,
\end{cases}
\]

则可直接写出其绕 $z$ 轴旋转得到的旋转曲面方程: $x^2+y^2=a^2 z^2+b^2$.

(2) 空间曲线 $x=\varphi(t)$, $y=\phi(t)$, $z=\psi(t)$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成曲面的参数方程为

\[
\begin{aligned}
&x=\sqrt{\varphi^2(t)+\phi^2(t)}\cos\theta,\\
&y=\sqrt{\varphi^2(t)+\phi^2(t)}\sin\theta,\\
&z=\psi(t).
\end{aligned}
\]

其中 $\theta\in[0,2\pi]$.

References:

国防科学技术大学大学数学竞赛指导组 编 《大学生数学竞赛指导》，清华大学出版社.