问题及解答

在三维欧氏空间中给定 $n$ 个点 $A_1,\ldots,A_n$, 给定 $n$ 个实数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, 适合 $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\neq 0$. 

试证: 对任意点 $Q$, 在此空间中唯一存在与 $Q$ 无关的点 $P$, 使得

\[
\sum_{i=1}^{n}\lambda_i\overrightarrow{QA_i}=(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i)\overrightarrow{QP}.
\]

Hint.

令 $\mu_i=\frac{\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_i}$, 则 $\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i=1$. 问题等价于找到点 $P$, 使得

\[
\sum_{i=1}^{n}\mu_i\overrightarrow{QA_i}=\overrightarrow{QP}.
\]

注: 此为第五届全国大学生数学夏令营(1991年7月)第一试试题

设 $A_i=(a_{i1},a_{i2},a_{i3})$, $q=(q_1,q_2,q_3)$, $p=(p_1,p_2,p_3)$.

则 $\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i\overrightarrow{QA_i}=\overrightarrow{QP}$ 变为

\[
\sum_{i=1}^{n}\mu_i(a_{i1}-q_1,a_{i2}-q_2,a_{i3}-q_3)=(p_1-q_1,p_2-q_2,p_3-q_3).
\]

即

\[
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n}\mu_i a_{i1}-\sum_{i=1}^{n}\mu_i q_1=p_1-q_1,\\
\sum_{i=1}^{n}\mu_i a_{i2}-\sum_{i=1}^{n}\mu_i q_2=p_2-q_2,\\
\sum_{i=1}^{n}\mu_i a_{i3}-\sum_{i=1}^{n}\mu_i q_3=p_3-q_3,\\
\end{aligned}
\]

由于 $\sum\limits_{i=1}^{n}\mu_i=1$, 故

\[
p_1=\sum_{i=1}^{n}\mu_i a_{i1},\quad p_2=\sum_{i=1}^{n}\mu_i a_{i2},\quad p_3=\sum_{i=1}^{n}\mu_i a_{i3}.
\]