记曲面 $z=x^2+y^2-2x-y$ 在区域 $D:\ x\geqslant 0, y\geqslant 0, 2x+y\leqslant 4$ 上的最低点 $P$ 处的切平面为 $\pi$, 曲线
\[
\Gamma:\ \left\{
\begin{aligned}
x^2+y^2+z^2 &=6,\\
x+y+z &=0
\end{aligned}
\right.
\]
在点 $Q(1,1,-2)$ 处的切线为 $\ell$, 求点 $P$ 到直线 $\ell$ 在平面 $\pi$ 上的投影 $\ell'$ 的距离 $d$.
1
曲面方程可化为
\[
z+\frac{5}{4}=(x-1)^2+(y-\frac{1}{2})^2
\]
所以最低点 $P$ 为 $(1,\frac{1}{2},-\frac{5}{4})$. 注意到 $(1,\frac{1}{2})\in D$.
欲求 $\mathrm{dist}(P,\ell')$, 必先搞清楚 $\ell'$ 的具体方程. 而 $\ell'$ 是直线 $\ell$ 在平面 $\pi$ 上的投影. 因此, 首先得写出 $\ell$ 的方程来.
根据题设, $\ell$ 是曲线 $\Gamma$ 在点 $Q$ 处的切线, 因此只需确定此切线的方向向量即可. 而 $\Gamma$ 是球面 $\Sigma_1:\ x^2+y^2+z^2=6$ 和平面 $\Sigma_2:\ x+y+z=0$ 的交线, 故切线 $\ell$ 与两曲面的法向量都垂直.
记 $\Sigma_1$ 在 $Q$ 点的法向量为 $n_1$, $\Sigma_2$ 在 $Q$ 点的法向量为 $n_2$. 则
\[
n_1=(2x,2y,2z)\bigr|_{Q}=(2,2,-4),\quad n_2=(1,1,1).
\]
因此 $\ell$ 的方向向量为
\[
n_1\times n_2=
\begin{vmatrix}
i & j & k\\
2 & 2 & -4\\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=6(1,-1,0).
\]
因此, 切线 $\ell$ 的方程为
\[
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{0},
\]
其一般式方程为
\[
\left\{
\begin{aligned}
x+y-2&=0,\\
z+2&=0.
\end{aligned}
\right.
\]
下面求 $\ell'$ 的方程.
$\ell'$ 是 $\ell$ 在平面 $\pi$ 上的投影, 于是 $\ell'$ 和 $\ell$ 所在的平面与 $\pi$ 垂直. 可以先求出 $v=n_{\pi}\times n_{\ell}$, 然后再求 $v\times n_{\pi}$, 这就是 $\ell'$ 的方向向量.
\[
v=n_{\pi}\times n_{\ell}=
\begin{vmatrix}
i & j & k\\
0 & 0 & 1\\
1 & -1 & 0
\end{vmatrix}=(1,1,0).
\]
\[
v_{\ell'}=v\times n_{\pi}=
\begin{vmatrix}
i & j & k\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}=(1,-1,0).
\]
这说明 $\ell'$ 与 $\ell$ 是平行的. 根据上面 $\ell$ 的一般式方程, 知 $\ell\|\pi$, 因此 $\ell'$ 也与 $\pi$ 平行. 由于 $\pi$ 与 $z$ 轴垂直, 故若 $\ell$ 过点 $(1,1,-2)$, 则 $\ell'$ 过点 $(1,1,-\frac{5}{4})$. 因此 $\ell'$ 的方程为
\[
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+\frac{5}{4}}{0},
\]
即
\[
\left\{
\begin{aligned}
x+y-2&=0,\\
z+\frac{5}{4}&=0.
\end{aligned}
\right.
\]
最后求 $\mathrm{dist}(P,\ell')$. 根据点到直线的距离公式,
\[
\mathrm{dist}(P,\ell')=\frac{|1+\frac{1}{2}-2|}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
\]
注: 求投影直线还有其他办法. 比如用平面束. (即求出过直线 $\ell$ 且与 $\pi$ 垂直的平面.)
考虑过直线 $\ell$ 的平面束方程为
\[
\Sigma_{\lambda}:\ (x+y-2)+\lambda(z+2)=0.
\]
对每个 $\lambda$, 曲面 $\Sigma_{\lambda}$ 的法向量为 $n_{\lambda}=(1,1,\lambda)$. 而平面 $\pi$ 的法向量是 $n_{\pi}=(0,0,1)$. 要使得 $\Sigma_{\lambda}\perp\pi$, 则 $n_{\lambda}\perp n_{\pi}$. 因此推出 $\lambda=0$. 于是所求平面是 $x+y-2=0$. 所以 $\ell'$ 的方程为
\[
\left\{
\begin{aligned}
x+y-2&=0,\\
z+\frac{5}{4}&=0.
\end{aligned}
\right.
\]