设 $f,g$ 均为 $3$ 阶可导函数, 求复合函数 $f(g)$ 的各阶导数.

\[
\begin{aligned}
(f(g))'&=f'(g)g',\\
[f(g)]''&=[f'(g)g']'=[f'(g)]'g'+f'(g)g''=f''(g)g'g'+f'(g)g'',
\end{aligned}
\]
从而
\[
\begin{split}
[f(g)]^{(3)}&=[f''(g)g'g'+f'(g)g'']'\\
&=f'''(g)(g')^3+f''(g)2g'g''+f''(g)g'g''+f'(g)g'''\\
&=f^{(3)}(g)(g')^3+3f''(g)g'g''+f'(g)g^{(3)}.
\end{split}
\]

经过计算

\[
[f(g)]^{(4)}=f^{(4)}(g)(g')^4+6f^{(3)}(g')^2g''+3f''(g)(g'')^2+4f''(g)g'g^{(3)}+f'(g)g^{(4)},
\]

\[
\begin{split}
[f(g)]^{(5)}&=f^{(5)}(g)(g')^5+10f^{(4)}(g)(g')^3 g''+10f^{(3)}(g)(g')^2 g^{(3)}+15f^{(3)}(g) g'(g'')^2\\
&\quad+10f''(g) g'' g^{(3)}+5f''(g) g' g^{(4)}+f'(g)g^{(5)}.
\end{split}
\]

设曲线 $\Gamma$ 的参数方程为

\[
\begin{cases}
x=\varphi(t),\\
y=\psi(t),
\end{cases}
\]

其中 $t\in[\alpha,\beta]$. $\varphi(t)$, $\psi(t)$ 二阶可导. 且 $\dot{\varphi}(t)=\varphi'(t)\neq 0$.

证明:

\[
\frac{d^2 y}{dx^2}=\frac{\ddot{\psi}\dot{\varphi}-\dot{\psi}\ddot{\varphi}}{\dot{\varphi}^3}.
\]

\[
(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n}{2}\pi)=\cos(x+\frac{n-1}{2}\pi).
\]

注意: $\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$, 即 $\sin x$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 得到 $\cos x$.

设 $y=f(x)$ 具有反函数, 其反函数为 $g(x)$. 并且 $g$ 二阶可导, 且满足 $(g'(x))^2=g''(x)$, 证明 $f''(x)+f(x)=0$.

已知函数 $y=f(x)$ 具有二阶导数, 且 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f'(x)-2}{x}=2$, 求 $\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}y^2}\biggr|_{x=0}$.

Remark: 注意这里求 $x$ 对 $y$ 的二阶导数在 $x=0$ 的值.

设 $f(x)=(x^3-1)^n$, $n\in\mathbb{N}$, 求 $f^{(n)}(1)$.

[hint] 这是一道填空题. 将 $x^3-1$ 分解因式为 $(x-1)(x^2+x+1)$ 即可.

写出 $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$ 的麦克劳林(MacLaurin)展开式.

\[
e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}x^n
\]

\[
\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots
\]

\[
\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots
\]

研究计算 $e^x$ 等函数的算法.

求 $f(x)=e^x \sin x$ 和 $g(x)=e^x \cos x$的高阶导数.

证明:

\[
g^{(n)}(x)=\begin{cases}
(-4)^{k}e^x \cos x, & n=4k,\\
(-4)^{k}e^x(\cos x-\sin x), & n=4k+1,\\
(-4)^{k}(-2)e^x \sin x, & n=4k+2,\\
(-4)^{k}(-2)e^x(\sin x+\cos x), & n=4k+3.
\end{cases}
\]

$g^{(n)}(x)$ 可以写为

\[
g^{(n)}(x)=-(\sqrt{2})^n e^x \sin(x+\frac{n-2}{4}\pi),\quad n\geqslant 1.
\]

当然, 也可以写为

\[
g^{(n)}(x)=(\sqrt{2})^n e^x \cos(x+\frac{n}{4}\pi),\quad n\geqslant 1.
\]

求 $f(x)=xe^x$ 的高阶导数.

一般的, 求 $f_m(x)=\frac{1}{(1-x)^m}$ 的高阶导数.