P.167  习题 4.1

2. 求下列不定积分.

(6)    $\displaystyle\int(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x^3}-1)dx$

(15)    $\displaystyle\int\frac{1}{1+\cos 2x}dx$

(20)    $\displaystyle\int\sqrt{1+\sin 2x}dx$,    $x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

计算

\[\int\frac{1}{\sin^4(x)+\cos^4(x)}dx\]

References:

对三大数学软件 Mathematica 、Maple 、MATLAB 的小测试比较

https://blog.csdn.net/iteye_18800/article/details/82294214?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.channel_param

求不定积分

\[\int\frac{2(1-u)}{2u+u^2 e^{-u}}du\]

Note that

\[
\frac{2(1-u)}{2u+u^2 e^{-u}}=\frac{1}{u}-\frac{e^{-u}+2}{ue^{-u}+2}
\]

计算不定积分

\[
\int\frac{2\sin x+\cos x}{\sin x+2\cos x}\mathrm{d}x
\]
 

\[
\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x
\]

计算不定积分

\[
\int\frac{1}{1-\sin x}dx
\]

\[
\int\frac{1}{1+\sin x}dx
\]

关于

\[
\int\frac{1+\sin x}{1-\sin x}dx
\]
 

参见问题 1450

计算不定积分

\[
\int\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}dx
\]
 

[Hint] 被积函数形如 $\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$ 的可以整体令为 $t$.

Remark:

相关题目参见: 问题2047

证明:

\[
\arcsin x+\frac{\pi}{2}=2\arctan\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}
\]

相关问题参考问题2048.

\[
\int\frac{e^{-\frac{x}{2}}(\cos x-\sin x)}{\sqrt{\sin x}}dx
\]

[Hint] Note that 

\[
(\sqrt{\sin x})'=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}.
\]

求不定积分

\[
\int\frac{x^2+1}{x\sqrt{1+x^4}}dx
\]

[Hint] 令 $x^2=\tan t$,   $t\in(0,\frac{\pi}{2})$.

\[
\int\frac{1+\cos x}{1+\sin^2 x}dx
\]