问题及解答

求不定积分

\[
\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1+x^2}}
\]

[Hint] 令 $x=\frac{1}{t}$ 或 $x=\tan t$

(方法一) 令 $x=\frac{1}{t}$, 则

\[
\begin{split}
\text{原积分}&=\int\frac{\mathrm{d}\frac{1}{t}}{\frac{1}{t^2}\cdot\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}}\\
&=\int\frac{-\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t}{\frac{1}{t^2}\cdot\frac{\sqrt{1+t^2}}{|t|}}\\
&=-\int\frac{|t|\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^2}}
\end{split}
\]

不妨设 $t > 0$ (即原 $x$ 是正的), 则

\[
-\int\frac{|t|\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^2}}=-\int\frac{t\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^2}}=-\sqrt{1+t^2}+C=-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+C=-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C
\]

若 $t < 0$, 则 $x < 0$, 于是

\[
-\int\frac{|t|\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^2}}=\int\frac{t\mathrm{d}t}{\sqrt{1+t^2}}=\sqrt{1+t^2}+C=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+C=-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C
\]

因此, 综合起来, 有

\[
\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\cdot\sqrt{1+x^2}}=-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C.
\]