问题及解答

计算不定积分

\[
\int\frac{2\sin x+\cos x}{\sin x+2\cos x}\mathrm{d}x
\]
 

\[
\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x
\]

(2)  第二个积分有一个很简单的做法, 但做法几乎可以认为是从其答案反推的.

\[
\begin{split}
\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int\biggl(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\biggr)\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}(\sin x+\cos x)\\
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|+C
\end{split}
\]

(2) 这里给出另一个做法.

\[
\begin{split}
\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x&=\int\frac{(\sin x)(\sin x+\cos x)}{(\sin x+\cos x)^2}\mathrm{d}x\\
&=\int\frac{\sin^2 x+\sin x\cos x}{1+2\sin x\cos x}\mathrm{d}x\\
&=\int\frac{\sin^2 x}{1+\sin 2x}\mathrm{d}x+\int\frac{\frac{1}{2}\sin 2x}{1+\sin 2x}\mathrm{d}x\\
&=\int\frac{\frac{1}{2}(1-\cos 2x)}{1+\sin 2x}\mathrm{d}x+\frac{1}{4}\int\frac{\sin 2x}{1+\sin 2x}\mathrm{d}(2x)\\
&=\frac{1}{2}\int\frac{1}{1+\sin 2x}\mathrm{d}x-\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm{d}(\sin 2x)}{1+\sin 2x}+\frac{1}{4}\int\frac{\sin 2x}{1+\sin 2x}\mathrm{d}(2x)\\
\end{split}
\]

其中

(1)

\[
\begin{split}
\int\frac{1}{1+\sin 2x}\mathrm{d}x&=\int\frac{1-\sin 2x}{1-\sin^2(2x)}\mathrm{d}x=\int\frac{1-\sin 2x}{\cos^2 (2x)}\mathrm{d}x\\
&=\int\sec^2(2x)\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(\cos 2x)}{\cos^2(2x)}\\
&=\frac{1}{2}\int\sec^2(2x)\mathrm{d}2x+\frac{1}{2}\cdot\frac{-1}{\cos 2x}\\
&=\frac{1}{2}\tan 2x-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\cos 2x}+C
\end{split}
\]

(2)

\[
\int\frac{\mathrm{d}(\sin 2x)}{1+\sin 2x}=\ln|1+\sin 2x|+C
\]

(3) 令 $t=2x$

这个积分与(1) 是类似的. 都可以直接利用问题2049中的结论.

\[
\begin{split}
\int\frac{\sin t}{1+\sin t}\mathrm{d}t&=\int(1-\frac{1}{1+\sin t})\mathrm{d}t=t-\int\frac{1}{1+\sin t}\mathrm{d}t\\
&=t-(\tan t-\sec t+C)
\end{split}
\]

于是,

\[
\begin{split}
\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\Bigl[\frac{1}{2}\tan 2x-\frac{1}{2}\sec 2x+C\Bigr]-\frac{1}{4}\ln|1+\sin 2x|+\frac{1}{4}(2x-\tan 2x+\sec 2x+C)\\
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\ln|1+\sin 2x|+C\\
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\ln((\sin x+\cos x)^2)\\
&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|+C.
\end{split}
\]

也可以分子分母同乘以 $\cos x-\sin x$, 利用 $\cos^2 x-\sin^2 x=\cos (2x)$.

\[
\begin{split}
\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sin x\cdot(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)(\cos x-\sin x)}\mathrm{d}x\\
&=\int\frac{\sin x\cos x-\sin^2 x}{\cos(2x)}\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{2}\int\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\frac{1-\cos(2x)}{\cos(2x)}\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{2}\int\tan(2x)\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\sec(2x)\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{4}\int\tan(2x)\mathrm{d}(2x)-\frac{1}{4}\int\sec(2x)\mathrm{d}(2x)+\frac{1}{2}x\\
&=\frac{1}{4}\ln|\sec(2x)|-\frac{1}{4}\ln|\sec(2x)+\tan(2x)|+\frac{1}{2}x+C.
\end{split}
\]

而

\[
\begin{split}
\frac{1}{4}\ln|\sec(2x)|-\frac{1}{4}\ln|\sec(2x)+\tan(2x)|&=-\frac{1}{4}\ln\biggl|\frac{\sec(2x)+\tan(2x)}{\sec(2x)}\biggr|\\
&=-\frac{1}{4}\ln|1+\sin(2x)|\\
&=-\frac{1}{4}\ln|\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cdot\cos x|\\
&=-\frac{1}{4}\ln(\sin x+\cos x)^2\\
&=-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|
\end{split}
\]

因此, 也得出

\[
\int\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\ln|\sin x+\cos x|+\frac{1}{2}x+C.
\]