1. [Juha Heinonen/TOC]Lectures on Lipschitz Analysis
Posted by haifeng on 2012-12-24 16:22:14 last update 2022-12-06 20:09:46 | Answers (0) | 收藏
Questions in category: Lipschitz 分析 (Lipschitz Analysis)
几何 >> 度量几何 >> Lipschitz 分析
证明
注
证明 $\max$ 函数是连续的, 因此 $G(y)$ 连续. $|y|\rightarrow+\infty$ 时, $G(y)\rightarrow+\infty$ 是显然的. 下面证明 $G(y)$ 是 Lipschitz 的.
在 $y$ 和 $y\'$ 的两个小邻域内, 不妨设
\[
\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y-y_i|}{r_i}=\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}},\quad \max_{j=1,\ldots,k}\frac{|y\'-y_j|}{r_j}=\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}.
\]
\[
\begin{split}
|G(y)-G(y\')|&=\biggl|\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y-y_i|}{r_i}-\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y\'-y_i|}{r_i}\biggr|\\
&=\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggl|\\
&\leqslant\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|+\biggl|\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|
\end{split}
\]
注意到, 只要 $x\neq y$, 就存在 $M>0$, 使得
\[
|kx-ly|\leqslant M|x-y|.
\]
因此, 存在 $M_1>0$, 使得
\[
\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|\leqslant M_1|y_{i_0}-y_{j_0}|,
\]
而 $y_{i_0}$ 和 $y_{j_0}$ 分别是 $y$ 和 $y\'$ 的简单函数, 并且由于 $G(y)$ 是连续函数, 故当 $|y-y\'|\rightarrow 0$ 时, 有 $y_{j_0}=y_{i_0}$. 因此存在常数 $M_2>0$, 使得
\[
|y_{i_0}-y_{j_0}|\leqslant M_2|y-y\'|.
\]
另一方面, 存在 $M_3>0$, 使得
\[
\biggl|\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|\leqslant M_3|y-y\'|.
\]
综上, 存在 $M>0$, 使得 $|G(y)-G(y\')|\leqslant M|y-y\'|$.
证明
Remark
证明
2. [Juha Heinonen]Lectures on Lipschitz Analysis [2.4]
Posted by haifeng on 2012-12-24 16:19:03 last update 2012-12-25 11:02:15 | Answers (0) | 收藏
2.4 Lipschitz retracts.
集合 $Y\subset\mathbb{R}^m$ 称为相对于所在欧氏空间有 Lipschitz 扩展性质, 或者简称有 Lipschitz 扩展性质(Lipschitz extension property), 如果对每个 Lipschitz 映射 $f:A\rightarrow Y$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 可以扩展为 Lipschitz 映射 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow Y$.
注意到我们这里对于扩展的形式要求很宽, 对常数并没有限制. 在应用中, 进一步在定量方面的要求经常是必须的. 具有 Lipschitz 扩展性质的集合可以被欧氏空间的 Lipschitz 收缩(Lipschitz retracts) 所刻画.
集合 $Y\subset\mathbb{R}^m$ 称为是一个(欧氏)Lipschitz 收缩 (Euclidean Lipschitz retract), 如果存在一个 Lipschitz 映射 $\rho:\mathbb{R}^m\rightarrow Y$, 使得 $\rho(y)=y$ 对所有 $y\in Y$ 成立. 这样的映射 $\rho$ 称为(到 $Y$ 上的) Lipschitz retraction. 此时我们也称 $Y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz retract. 注意到, 如果 $Y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz 收缩, 则它是任意包含 $Y$ 的欧氏空间 $\mathbb{R}^M$ 的 Lipschitz 收缩. 于是术语 "欧氏 Lipschitz 收缩"(Euclidean Lipschitz retract) 是合适的.
Lipschitz 收缩集合一定是闭集. 因为它是零点在连续映射 $y\mapsto\rho(y)-y$ 之下的原像. 因此不失一般性, 我们仅考虑闭集 (in ensuring discussion).
Prop 2.10. 闭集 $Y\subset\mathbb{R}^m$ 具有 Lipschitz 扩展性质当且仅当 $Y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz retract.
Proof. ($\Rightarrow$) 设 $Y$ 具有 Lipschitz 扩展性质, 根据定义, 恒同映射 $Y\rightarrow Y$ 有 Lipschitz 扩展 $\mathbb{R}^m\rightarrow Y$. 从而 $Y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz retract.
($\Leftarrow$) 若 $\rho:\mathbb{R}^m\rightarrow Y$ 是一个 Lipschitz retraction, 并且 $f:A\rightarrow Y$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 Lipschitz 映射, 则 $\rho\circ F:\mathbb{R}^n\rightarrow Y$ 给出了 $f$ 的一个 Lipschitz 扩展, 这里 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是 $A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz 扩展, 由 MsShane-Whitney 扩展定理所保证. #
Claim 1. 每个欧氏 Lipschitz retract 必是可缩的.
事实上, 若 $\rho:\mathbb{R}^m\rightarrow Y$ 是一个收缩映射, 且 $h:\mathbb{R}^m\times[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是将 $\mathbb{R}^m$ 连续形变为一点 $y_0\in Y$ 的连续映射(即 $h(x,0)=x$, $h(x,1)=y_0$, $\forall\ x\in\mathbb{R}^m$). 则
\[
H:\ Y\times[0,1]\rightarrow Y,\quad H(y,t):=\rho\circ h(y,t),
\]
给出了所需的同伦.
Claim 2. 另一个基本观察是每个欧氏 Lipschitz retract Y 必定是拟凸的(quasiconvex).
事实上, 若 $\rho:\mathbb{R}^m\rightarrow Y$ 是一个 $L$-Lipschitz retraction, 并且设 $[a,b]$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中连接 $Y$ 中 $a,b$ 两点的线段, 则 $\rho([a,b])$ 是 $Y$ 中连接 $a$ 到 $b$ 的一条曲线, 长度至多为 $L|a-b|$.
值得注意的是上面两个关于 retract 的必要条件对于 $m=2$ 维时也是充分的.(见下面的定理.)
Theorem 2.11. 平面 $\mathbb{R}^2$ 中的闭集 $Y$ 是一个欧氏 Lipschitz retract 当且仅当 $Y$ 是可缩且拟凸的.
欧氏 Lipschitz retract $Y$ 的拟凸常数和 retraction 的 Lipschitz 常数仅仅依赖于彼此, 从这个意义上, 上面的论述是定量的.
Juha Heinonen 是从 Jason Miller 那得知这个结果的. 2004 年夏天, 当 Jason Miller 在密歇根大学(University of Michigan)从事 REU-project(REU is a U.S. National Science Foundation funded program Research Experience for Undergraduates.)时发现了这个定理的证明. 很快, Juha Heinonen 发现 Theorem 2.11 可从 Lang 和 Schroeder 更一般的结果[42]中导出. 也就是, 每个可缩的 planar continuum 在其内蕴度量下是一个 $\text{CAT}(0)$ 空间, 并且 [42,Theorem A] 推出对于这种空间, Kirszbraun 定理成立; 恒同映射 $Y\rightarrow Y$ 扩展到 $\mathbb{R}^2\rightarrow Y$, 这个扩展映射关于内蕴度量是 Lipschitz 的. 拟凸的假设保证了 Lipschitz 条件对于欧氏度量也成立. 关于 $\text{CAT}(0)$ 空间的定义可参见 [42] 和 [10], 这里也引用了 [10,p.310] 中的事实. Kirszbraun 定理关于曲率条件的更进一步推广可以在 [41] 中找到.
References:
[10] Burago, D., Burago, Y., and Ivanov, S. A course in metric geometry, vol. 33 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
[42] Lang, U., and Schroeder, V. Kirszbraun\'s theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7, 3 (1997), 535–560.
3. [Thm]Rademacher 定理
Posted by haifeng on 2012-12-12 17:44:40 last update 2012-12-12 19:26:02 | Answers (0) | 收藏
[Thm](Rademacher 定理) $\mathbb{R}^n$ 上的 Lipschitz 函数几乎处处可微.
[Def] 设 $X$ 和 $Y$ 是 Banach 空间, $U$ 是 $X$ 中的开集, 称映射 $f:U\rightarrow Y$ 在点 $x\in U$ 处可微, 若存在一个有界线性映射 $df_x:X\rightarrow Y$ 使得
\[
f(x+h)-f(x)=df_x(h)+o(h).
\]
这意味着对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对满足 $\|h\|<\delta$ 的任意 $h$, 有
\[
\|f(x+h)-f(x)-df_x(h)\|\leqslant\varepsilon\|h\|.
\]
可以得到一个 Sobolev 空间版本的 Rademacher 定理, 参见下面的
www.math.harvard.edu/archive/212b_spring_05/handouts/Rademacher.pdf
或参考 [Fred, 3.1.6]
[Fred] Federer, H., Geometric Measure Theory, Springer, 1969.
4. [Juha Heinonen]Lectures on Lipschitz Analysis [$\S$ 2.2]
Posted by haifeng on 2012-12-09 16:58:21 last update 2012-12-14 23:04:07 | Answers (0) | 收藏
[Juha Heinonen]Lectures on Lipschitz Analysis
2.2 扩展定理.
我们证明属于 MsShane-Whitney 和 Kirszbraun 的重要的扩展定理.
定理 2.3(MsShane-Whitney 扩展定理). 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则它可以扩展到整个 $\mathbb{R}^n$ 上, 即存在一个 $L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $F|_A=f$.
证明
由于函数 \[ f_a(x):=f(a)+L|x-a|,\quad a\in A, \] 是 $\mathbb{R}^n$ 上的 $L$-Lipschitz 函数, 而函数r \[ F(x):=\inf_{a\in A}f_a(x),\quad F:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}, \] 根据引理 2.1 是 $L$-Lipschitz 的. 又显然有 $F(a)=f(a)$ 对于所有 $a\in A$ 成立.
推论 2.4. 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则存在一个 $\sqrt{m}L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得 $F|_A=f$.
证明: 对映射 $f$ 的 $m$ 个分量函数直接应用定理2.3 即可.
注: 推论中的系数 $\sqrt{m}$ 实际上是多余的, 但证明很困难. 见下面的 Kirszbraun 定理.
定理 2.3(Kirszbraun 定理) 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则存在一个 $L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得 $F|_A=f$.
证明: 通过对 $f$ 除以 $L$, 我们可以假设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是 1-Lipschitz 的.
为证明这个定理, 下面的引理是关键.
引理 2.6. 设 $f$ 是定义在 $F\subset\mathbb{R}^n$ 上的 $\mathbb{R}^m$ 值 1-Lipschitz 函数, 若 $x\in\mathbb{R}^n$, 则存在 $f$ 的扩展函数, 它是 $F\cup\{x\}$ 上的 $\mathbb{R}^m$ 值 1-Lipschitz 函数.
引理 2.7. 设 $\{x_1,\ldots,x_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有限点集, 且设 $\{y_1,\ldots,y_k\}$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的点集使得
\[
|y_i-y_j|\leqslant |x_i-x_j|\tag{2.6}
\]
对所有 $i,j\in\{1,\ldots,k\}$ 成立. 若 $r_1,\ldots,r_k$ 是使得
\[
\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(x_i,r_i)\neq\emptyset
\]
成立的正数, 则
\[
\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(y_i,r_i)\neq\emptyset.
\]
我们首先利用引理 2.7 证明引理 2.6. 事实上, 令 $F=\{x_1,\ldots,x_k\}\subset\mathbb{R}^n$, 设 $f:F\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是一个 1-Lipschitz 映射, 若令 $y_i:=f(x_i)$, 则 $|y_i-y_j|\leqslant|x_i-x_j|$. 设 $x\in\mathbb{R}^n$. 令 $r_i:=|x-x_i|$. 即 $x\in\bigcap_{i=1}^{k}\bar{B}(x_i,r_i)$. 根据引理 2.7, 存在一点 $y\in\bigcap_{i=1}^{k}\bar{B}(y_i,r_i)\subset\mathbb{R}^m$, 即使得 $|y-y_i|\leqslant r_i=|x-x_i|$ 对每个 $i$ 成立. 于是令 $f(x)=y$, 则得到我们所需要的扩展映射. 这就证明了引理 2.6.
注
这里我们要用到 $\overline{B}(x_i,r_i)$ 公共边界上的点, 也即假设 $\bigcap_{i=1}^{k}\partial B(x_i,r_i)\neq\emptyset$.
下面我们回到引理 2.7 的证明. 令
\[
G(y):=\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y-y_i|}{r_i},\quad y\in\mathbb{R}^m.
\]
则 $G:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个连续函数(事实上是 Lipschitz 的), 且当 $|y|\rightarrow\infty$ 时, $G(y)\rightarrow\infty$.
证明 $\max$ 函数是连续的, 因此 $G(y)$ 连续. $|y|\rightarrow+\infty$ 时, $G(y)\rightarrow+\infty$ 是显然的. 下面证明 $G(y)$ 是 Lipschitz 的.
在 $y$ 和 $y\'$ 的两个小邻域内, 不妨设
\[
\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y-y_i|}{r_i}=\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}},\quad \max_{j=1,\ldots,k}\frac{|y\'-y_j|}{r_j}=\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}.
\]
\[
\begin{split}
|G(y)-G(y\')|&=\biggl|\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y-y_i|}{r_i}-\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y\'-y_i|}{r_i}\biggr|\\
&=\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggl|\\
&\leqslant\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|+\biggl|\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|
\end{split}
\]
注意到, 只要 $x\neq y$, 就存在 $M>0$, 使得
\[
|kx-ly|\leqslant M|x-y|.
\]
因此, 存在 $M_1>0$, 使得
\[
\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|\leqslant M_1|y_{i_0}-y_{j_0}|,
\]
而 $y_{i_0}$ 和 $y_{j_0}$ 分别是 $y$ 和 $y\'$ 的简单函数, 并且由于 $G(y)$ 是连续函数, 故当 $|y-y\'|\rightarrow 0$ 时, 有 $y_{j_0}=y_{i_0}$. 因此存在常数 $M_2>0$, 使得
\[
|y_{i_0}-y_{j_0}|\leqslant M_2|y-y\'|.
\]
另一方面, 存在 $M_3>0$, 使得
\[
\biggl|\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|\leqslant M_3|y-y\'|.
\]
综上, 存在 $M>0$, 使得 $|G(y)-G(y\')|\leqslant M|y-y\'|$.
而 $G(y)\geqslant 0$, 因此推出 $G(y)$ 在某一点 $w\in\mathbb{R}^m$ 取得最小值. 我们证明 $G(w)\leqslant 1$.
(反证法) 假设 $G(w)=:\lambda>1$. 记 $J$ 是使得 $|w-y_j|=r_j\lambda$ 的指标 $j$ 构成的集合. 即
\[
J=\{j\in\{1,2,\ldots,k\}\mid\ |w-y_j|=r_j\lambda\}.
\]
取点
\[x\in\bigcap_{j\in J}\overline{B}(x_j,r_j),\]
并考虑下面两个单位向量集合
\[
D:=\{\frac{x_j-x}{|x_j-x|}\ :\ j\in J\}\subset\mathbb{S}^{n-1},\quad
D\':=\{\frac{y_j-w}{|y_j-w|}\ :\ j\in J\}\subset\mathbb{S}^{m-1}
\]
从定义以及反证法的假设, 若令 $u_j=\frac{x_j-x}{|x_j-x|}$, $v_j=\frac{y_j-w}{|y_j-w|}$, 则易见自然映射 $D\rightarrow D\'$, $u_j\mapsto v_j$ 是距离严格递减的.
证明
我们要从条件 $|y_i-y_j|\leqslant|x_i-x_j|$ 推出 $\sphericalangle(v_{j_1},v_{j_2})<\sphericalangle(u_{j_1},u_{j_2})$. 注意 $D,D\'$ 上的距离是球面距离, 也即两个单位向量之间的夹角.
令
$\theta:=\sphericalangle(v_{i_1},v_{i_2})$, $\alpha:=\sphericalangle(u_{i_1},u_{i_2})$. 则 $\theta=\sphericalangle(y_{i_1}-w,y_{i_2}-w)$, $\alpha=\sphericalangle(x_{i_1}-x,x_{i_2}-x)$.
由余弦定理, 得到
\[
\begin{aligned}
|y_{i_1}-y_{i_2}|^2&=|y_{i_1}-w|^2+|y_{i_2}-w|^2-2|y_{i_1}-w||y_{i_2}-w|\cos\theta,\\
|x_{i_1}-x_{i_2}|^2&=|x_{i_1}-x|^2+|x_{i_2}-x|^2-2|x_{i_1}-x||x_{i_2}-x|\cos\alpha.
\end{aligned}
\]
由于 $|y_{i_1}-y_{i_2}|\leqslant|x_{i_1}-x_{i_2}|$, 因此
\[
\begin{split}
&|y_{i_1}-w|^2+|y_{i_2}-w|^2-2|y_{i_1}-w||y_{i_2}-w|\cos\theta\\
\leqslant&|x_{i_1}-x|^2+|x_{i_2}-x|^2-2|x_{i_1}-x||x_{i_2}-x|\cos\alpha
\end{split}
\]
由于 $|y_{j}-w|=\lambda r_{j}$, 对 $\forall\ j\in J$. 并且注意到 $|x_i-x|\leqslant r_i$, 故
\[
\begin{split}
&\lambda^2(r_{i_1}^2+r_{i_2}^2-2r_{i_1}r_{i_2}\cos\theta)\\ \leqslant&|x_{i_1}-x|^2+|x_{i_2}-x|^2-2|x_{i_1}-x||x_{i_2}-x|\cos\alpha.
\end{split}
\]
我们假设 $\lambda>1$, 故推出
\[
\begin{split}
&r_{i_1}^2+r_{i_2}^2-2r_{i_1}r_{i_2}\cos\theta\\
<&|x_{i_1}-x|^2+|x_{i_2}-x|^2-2|x_{i_1}-x||x_{i_2}-x|\cos\alpha.
\end{split}
\]
要知道
\[
\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(x_i,r_i)\neq\emptyset\not\Rightarrow\bigcap_{i=1}^{k}\partial{B}(x_i,r_i)\neq\emptyset
\]
因此, 这个证明或许有问题, 如果该引理确是这么证的, 则其正确性有待观察. 而且该引理条件需要考虑所有闭球 $B(x_i,r_i)$ 的边界的交非空, 因为需要用此来证明引理 2.6. 于是即使我们在证明中取点 $x\in\bigcap_{i=1}^{k}\partial B(x_i,r_i)$, 从而有 $|x-x_i|=r_i$. 将它们代入到上面的不等式中, 也只能得到
\[
\cos\alpha\leqslant 2\lambda^2\cos\theta,
\]
不能一定推出 $\cos\theta>\cos\alpha$, 从而 $\theta<\alpha$. 因此这个命题值得怀疑. 事实上, Gromov 的体积定理中是考虑开球的交, 而非闭球的交.
要证明引理 2.7, 我们需要下面的引理.
引理 2.8. 设 $g:K\rightarrow\mathbb{S}^{m-1}$ 是一个 $L$-Lipschitz 映射, $L<1$, 其中 $K\subset\mathbb{S}^{n-1}$ 是紧致的. 则 $g(K)$ 包含在一个开半球内.
在证明引理 2.8 之前, 我们来看引理 2.7 是怎么由它导出的. 事实上, 映射 $D\rightarrow D\'$ 是距离严格递减的. 因此是一个 $L$-Lipschitz 映射, $L<1$. 这里注意到 $D,D\'$ 是有限集. 因此根据引理 2.8, $D\'$ 包含在某个开半球内, 比方说 $D\'\subset\mathbb{S}^{m-1}\cap\{x_m>0\}$. 但是将 $w$ 沿着第 $m$ 个基向量 $e_m$ 的方向稍微移动一点点, 函数 $G$ 的值就减少了, 这与 $G$ 在 $w$ 处取得最小值矛盾.
(why?)
剩下只要证明引理 2.8 即可. 为此, 记 $C$ 是 $g(K)$ 在 $\overline{B}^m$ 中的凸包(convex hull). 我们需要证明 $C$ 不包含原点(从而 $g(K)$ 被包含在某个开半球内). 于是用反证法, 假设对于向量 $v_1,\ldots,v_k\in K$, 存在常数 $\lambda_i\in[0,1]$,$i=1,\ldots,k$, $\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$, 使得
\[
\lambda_1 g(v_1)+\cdots+\lambda_k g(v_k)=0.
\]
由于 $g$ 是 $L$-Lipschitz 的, $L<1$, 因此我们有
\[
|g(v_i)-g(v_j)|<|v_i-v_j|,
\]
由余弦定理, 并且注意到 $|g(v_i)|=|g(v_j)|=|v_i|=|v_j|=1$, 可得
\[
\langle g(v_i),g(v_j)\rangle >\langle v_i,v_j\rangle,\quad\forall\ i\neq j.
\]
令 $b_i:=\lambda_1 v_i$, 则有
\[
\sum_{i=1}^{k}\langle b_j,b_i\rangle <0.
\]
事实上, 对每个 $j$,
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^{k}\langle b_j,b_i\rangle&=\sum_{i=1}^{k}\langle\lambda_j v_j,\lambda_i v_i\rangle\\&=\lambda_j\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\langle v_j,v_i\rangle\\
&<\lambda_j\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\langle g(v_j),g(v_i)\rangle\\
&=\sum_{i=1}^{k}\langle \lambda_jg(v_j),\lambda_ig(v_i)\rangle\\
&=\langle\lambda_jg(v_j),\sum_{i=1}^{k}\lambda_ig(v_i)\rangle\\
&=\langle\lambda_jg(v_j),0\rangle\\
&=0.
\end{split}
\]
这推出
\[
\langle(b_1+\cdots+b_k),(b_1+\cdots+b_k)\rangle=\sum_{i,j=1}^{k}\langle b_j,b_i\rangle<0,
\]
这显然是不可能的. 因此假设错误, 引理 2.8 得证.从而证明了引理 2.6. 剩下需要指出的是 Kirszbraun 定理如何由引理 2.6 导出.
我们采用标准的 Arzela-Ascoli 论述. 分别在 $A$ 和 $\mathbb{R}^n\setminus A$ 中选取可数稠密子集 $\{a_1,a_2,\ldots\}$ 和 $\{b_1,b_2,\ldots\}$. 我们可以假设这两个集合都是无穷集合. (若 $\mathbb{R}^n\setminus A$ 是有限集, 则映射的扩展是自动的; 若 $A$ 是有限集, the ensuing argument requires
only minor notational modifications.)
对每个 $k=1,2,\ldots$, 我们重复应用引理 2.6, 得到下面的 1-Lipschitz 映射
\[f_k:\ \{a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_k\}\rightarrow\mathbb{R}^m\]
使得 $f_k(a_i)=f(a_i)$, 对每个 $i=1,2,\ldots,k$ 成立. 序列 $\{f_k(b_1)\}_{k=1}^{+\infty}\subset\mathbb{R}^m$ 是有界的, 因此有收敛子序列, 比方说 $\{f_{k_j^1}(b_1)\}$.
类似的, 对应于这个子序列的映射 $\{f_{k_j^1}\}$, 我们可以抽取其中的子列, 比如 $\{f_{k_j^2}\}$, 使得点列 $\{f_{k_j^2}(b_2)\}\subset\mathbb{R}^m$ 收敛. 继续下去, 最终得到一个对角线序列 $\{g_j\}$, $g_j:=f_{k_j^j}$. 我们对每个 $c\in C:=\{a_1,a_2,\ldots\}\cup\{b_1,b_2,\ldots\}$, 发现极限
\[
g(c):=\lim_{j\rightarrow+\infty}g_j(c)\in\mathbb{R}^m
\]
是存在的. 并且, $g:C\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是 1-Lipschitz 的, 而且 $g(a_i)=f(a_i)$, $\forall\ i=1,2,\ldots$. 又因为 $C$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中稠密, $\{a_1,a_2,\ldots\}$ 在 $A$ 中稠密, $g$ 是所求的 1-Lipschitz 的扩展映射.
这就完成了 Kirszbraun 定理(2.5)的证明.
注 2.9. (a) 在刚才关于 Kirszbraun 定理的证明中, 最重要的引理是引理 2.7. Gromov 在 [19] 中所断言的体积单调性质也可以用于导出引理 2.7.
Remark
注意要求 $k\leqslant n+1$. 关于体积单调性质的猜想参见 Roman Dovgard, Thesis for the M.Sc. Degree: Simulations of Mahler\'s and volume monotonicity conjectures.
也就是, 假设
\[
\overline{B}(x_1,r_1),\ldots,\overline{B}(x_k,r_k)\quad\text{和}\quad\overline{B}(y_1,r_1),\ldots,\overline{B}(y_k,r_k)
\]
是 $\mathbb{R}^n$ 中的闭球, $k\leqslant n+1$, 且满足 $|y_i-y_j|\leqslant|x_i-x_j|$, 对每个 $i,j\in\{1,\ldots,k\}$ 成立. 则有下面的不等式
\[
\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(x_i,r_i)\Bigr)\leqslant\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(y_i,r_i)\Bigr).
\]
显然, 引理 2.7 可从此断言导出. 从而提供了 Kirszbraun 定理的另一种证明.
(b) 若把 $\mathbb{R}^n$ 换成任意可分(separable) Hilbert 空间, 而 $\mathbb{R}^m$ 换成任意有限维 Hilbert 空间, 之前关于 Kirszbraun 定理 2.5 的证明仍然适用. Kirszbraun 定理标准的证明使用了 Zorn 引理(结合引理 2.7或一个类似的辅助结果). 上面的 Arzela-Ascoli 论述对于无穷维空间不再适用.
5. [Thm]MsShane-Whitney 扩展定理
Posted by haifeng on 2012-12-09 16:57:06 last update 2012-12-09 17:26:04 | Answers (0) | 收藏
定理(MsShane-Whitney 扩展定理). 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则它可以扩展到整个 $\mathbb{R}^n$ 上, 即存在一个 $L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $F|_A=f$.
推论 2.4. 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则存在一个 $\sqrt{m}L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得 $F|_A=f$.
证明: 对映射 $f$ 的 $m$ 个分量函数直接应用定理2.3 即可.
注: 推论中的系数 $\sqrt{m}$ 实际上是多余的, 也就是说仍可以扩展为一个 $L$-Lipschitz 映射(见 Kirszbraun 定理). 但证明很困难.
Question: 有没有其他应用?
详见问题974
6. 局部 1-Lipschitz, 但非整体 Lipschitz 函数的例子.
Posted by haifeng on 2012-12-09 15:28:57 last update 2012-12-09 16:13:12 | Answers (1) | 收藏
考虑(以极坐标表示的)带缝平面(slip plane):
\[
A:=\{(r,\theta)\ :\ 0<r<\infty,\ -\pi<\theta<\pi\}\subset\mathbb{R}^2
\]
函数
\[
(r,\theta)\mapsto(r,\theta/2),\quad A\rightarrow\mathbb{R}^2,
\]
是局部 1-Lipschitz 的, 但不是整体 Lipschitz 的(按照 $\mathbb{R}^n$ 中的距离).
这个例子展示了问题970中拟凸条件与距离的相关性.
7. 定义在拟凸集上的局部 Lipschitz 函数是整体 Lipschitz 的.
Posted by haifeng on 2012-12-09 13:34:04 last update 2012-12-09 13:40:37 | Answers (0) | 收藏
引理. 若 $A\subset\mathbb{R}^n$ 是 $C$-拟凸的, 且 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是局部 $L$-Lipschitz 的, 则 $f$ 是 $CL$-Lipschitz 的.
[Def]集合 $A\subset\mathbb{R}^n$ 称为 $C$-拟凸的(quasiconvex), 如果 $A$ 中任两点 $a,b$ 可被 $A$ 中一条曲线 $\gamma$ 连接, 使得
\[
\text{length}(\gamma)\leqslant C|a-b|,
\]
其中 $C\geqslant 1$ 是固定的常数. 此时我们也称 $A$ 是拟凸的(quasiconvex).
Hint: 任取 $A$ 中两点 $x,y$, 由于 $A$ 是 $C$-拟凸的, 故存在 $A$ 中一条曲线 $\gamma$ 连接这两点. 然后利用曲线的紧致性即可证明.
8. 由一族 $L$-Lipschitz 函数所定义的上确界函数和下确界函数
Posted by haifeng on 2012-12-08 22:13:31 last update 2012-12-08 22:13:31 | Answers (1) | 收藏
引理 2.1. 设 $\{f_i:i\in I\}$ 是一族 $L$-Lipschitz 函数 $f_i:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$. 则函数
\[x\mapsto\inf_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]
和
\[x\mapsto\sup_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]
若在某一点有限, 则都是 $A$ 上的 $L$-Lipschitz 函数.
9. 证明 $\text{dist}(x,E)$ 是 1-Lipschitz 函数.
Posted by haifeng on 2012-12-08 21:50:44 last update 2012-12-08 21:54:39 | Answers (1) | 收藏
证明: $\text{dist}(x,E)$ 是 1-Lipschitz 函数. 这里 $x\in\mathbb{R}^n$, $E\subset\mathbb{R}^n$.
$\text{dist}(x,E)$ 定义为
\[\text{dist}(x,E):=\inf\{|x-a|,a\in E\}.\]
10. [Juha Heinonen]Lectures on Lipschitz Analysis
Posted by haifeng on 2012-12-07 13:22:13 last update 2023-08-23 09:13:29 | Answers (0) | 收藏
译自下述文献. 翻译可能不准确.
References:
Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis.
第一节. 介绍
函数 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 称为是 $L$-Lipschitz 的, 这里 $L>0$, 如果对任意 $a,b\in A$, $f$ 满足
\[
|f(a)-f(b)|\leqslant L|a-b|
\]
上式中的 Lipschitz 条件是一个纯度量条件, 它对从一个度量空间到另一个度量空间的映射有意义.
在以下的讲义中, 我们将着重于欧氏空间的 Lipschitz 函数.
在第二节中, 我们研究 extension problems 和 Lipschitz retracts.
在第三节中, 我们将证明 Rademacher 和 Stepanov 的经典的可微性定理.
在第四节, 我们简要讨论 Sobolev 空间和 Lipschitz behavior. 这里给出 Rademacher 定理的另一个证明, 它基于 Sobolev 嵌入(Sobolev embedding).
第五节是最重要的. 那里我们将仔细研究发展 Whitney 的平坦微分形式的基本理论. 特别的, 我们将给出平坦 chains(flat chains) 和平坦形式(flat forms)之间基本对偶性质的一个证明. 还讨论了关于平坦形式的 Lipschitz 不变性(Lipschitz invariance).
最后一节, 第六节, 我们将讨论几何分析中的最新进展, 那里, 平坦形式被用于寻找 Lipschitz variants of the measurable Riemann mapping theorem.
除了欧氏框架内的研究人员, 本讲义的内容对于研究一般度量几何的学生也是具有吸引力的. 定义在 $\mathbb{R}^n$ 中子集上的 Lipschitz 函数的许多基本结论, 通过类似地证明, 也适用于很一般的情形(are valid in great generality). Moreover, fluency in the classical theory is imperative in analysis and geometry at large.
Lipschitz 函数出现在数学中几乎每个角落. 典型的, 最初碰到 Lipschitz 条件是在常微分方程的基本理论中, 那里被用于解的存在性定理. 在实分析的基本课程中, Lipschitz 函数出现在有界变分(bounded variation)函数的例子中. 并且证明了定义在开区间上的实值 Lipschitz 函数是几乎处处可微的. 在更深奥的论题中, Lipschitz 分析被广泛用于几何测度理论、偏微分方程以及非线性泛函分析中. Lipschitz 条件是度量几何的中心概念之一, 不论是有限维还是无穷维. Lipschitz 分析还在拓扑中有令人感到吃惊(striking applications)的应用. 比如, 每个拓扑流形(除开四维外)都有惟一的 Lipschitz 结构, 这样的流形可能不具有光滑或分段线性的结构, 或者它有很多这样的(光滑或分段线性)结构. 在实用应用方面, Lipschitz 函数出现在图像处理以及 Internet 搜索引擎的研究中. 最后, 甚至当我们考虑 rougher objects, such as functions in various Sobolev spaces or quasiconformal mappings, vestiges of Lipschitz behavior are commonly found in them, and the theory is applicable.
在许多方面, Lipschitz 条件比 infinite smoothness 条件更为自然, and more ubiquitous. 例如, Lipschitz 函数族总是 (pre-)compact 的, 因此可以适用 Arzela-Ascoli 类型的论述. 光滑条件背景中的紧致性一般更为复杂.
许多重要的论题没有被全部覆盖.
1.1 记号.
我们采用标准的记号. 除非特别指明(unless otherwise stipulated), 欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ ($n\geqslant 1$) 中两点间的距离定义为
\[
|x-y|:=\biggl(\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2\biggr)^{1/2}.
\]
可测集 $E\subset\mathbb{R}^n$ 上的 Lebesgue $n$-测度记为 $|E|$, 关于 Lebesgue 测度的积分记为
\[
\int_E f(x)\mathrm{d}x.
\]
$\mathbb{R}^n$ 中的开集闭集分别记为 $B(x,r)$ 和 $\overline{B}(x,r)$, 这里 $x\in\mathbb{R}^n$, $r>0$. 如果我们需要强调所在空间的维数, 则写为 $B^n(x,r)$. 有时我们也记 $\mathbb{B}^n:=B^n(0,1)$, $\mathbb{S}^n:=\partial\mathbb{B}^n$. 集合 $E\subset\mathbb{R}^n$ 的闭包记为 $\overline{E}$, 其补集记为 $E^c:=\mathbb{R}^n\setminus E$.
1.2 致谢
我要感谢第14届 Jyväskylä 暑期学校的组织者, 特别是 Tero Kilpeläinen 教授和 Raimo Näkki 教授邀请我作这些演讲. 非常感谢 Eero Saksman 关于 Whitney 理论的许多富有启发性的谈话. 我也要感谢 Ole Jacob Broch, Bruce Kleiner 和 Peter Lindqvist 提供的一些有用的信息, 还要感谢 Bruce Hanson, Leonid Kovalev, Seppo Rickman 和 Jussi Väisälä 仔细阅读了我的手稿并所作的评论.
2. 扩展(Extension)
每个 Lipschitz 函数 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 都可以扩展为 $\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 一个 Lipschitz 函数 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$. 即 $F$ 是 Lipschitz 的, 且 $F|_{A}=f$. 这一节中, 我们对这一基本结果提供三种证明, 并讨论 Lipschitz retracts 的相关问题. 本节的发展，揭示了 Lipschitz 函数所带来的极大的灵活性; 它们可以粘贴、截断而不损害 Lipschitz 性质.
我们从一些预备知识开始.
2.1 距离函数和拟凸性(Distance functions and quasiconvexity)
距离函数是 Lipschitz 函数中简单而又重要的例子. 距离函数可以取到某个固定点 $x_0\in\mathbb{R}^n$ 的距离函数
\[x\mapsto\text{dist}(x,x_0):=|x-x_0|,\tag{2.1}\]
也可以更一般的, 取到某个固定集合 $E\subset\mathbb{R}^n$ 的距离函数
\[x\mapsto\text{dist}(x,E):=\inf\{|x-a|\ :\ a\in E\}.\tag{2.2}\]
$\text{dist}(\cdot,x_0)$是1-Lipschitz 的, 这是三角不等式的直接推论.
证明
由于 \[ \text{dist}(x_0,y)\leqslant\text{dist}(x,x_0)+\text{dist}(x,y) \] 以及\[\text{dist}(x,x_0)\leqslant\text{dist}(x,y)+\text{dist}(y,x_0)\] 因此 \[ |\text{dist}(x,x_0)-\text{dist}(y,x_0)|\leqslant\text{dist}(x,y) \]
$\text{dist}(\cdot,E)$ 也是1-Lipschitz 的. 我们可以直接证明, 见问题967
记录下面这个更一般的结果是值得的.
引理 2.1. 设 $\{f_i:i\in I\}$ 是一族 $L$-Lipschitz 函数 $f_i:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$. 则函数
\[x\mapsto\inf_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]
和
\[x\mapsto\sup_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]
若在某一点有限, 则都是 $A$ 上的 $L$-Lipschitz 函数.(参见问题968)
注意到(2.2)$\text{dist}(x,E)$ 中的 $E$ 假设是闭的. 另一方面, 我们有 $\text{dist}(x,E)=\text{dist}(x,\overline{E})$. 因此, 我们只需考虑闭集. 更一般地, 每个 $L$-Lipschitz 函数 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 可以通过一致连续扩展到闭包 $\overline{A}$ 上的一个 $L$-Lipschitz 函数.
Lipschitz 条件(1.1) 是整体的; 它需要对 $A$ 中任意两个点 $a,b$ 有控制. 有时我们仅需要局部信息. 有一个简单但很有用的引理, 证明了在特殊情况下, 局部信息可以转化为整体信息.
集合 $A\subset\mathbb{R}^n$ 称为 $C$-拟凸的(quasiconvex), 如果 $A$ 中任两点 $a,b$ 可被 $A$ 中一条曲线 $\gamma$ 连接, 使得
\[
\text{length}(\gamma)\leqslant C|a-b|,
\]
其中 $C\geqslant 1$ 是固定的常数. 此时我们也称 $A$ 是拟凸的(quasiconvex).
这里曲线 $\gamma$ 的长度指通常意义下定义的量
\[
\text{length}(\gamma):=\sup\sum_{i=0}^{N-1}|\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)|,
\]
其中, 上确界是对曲线 $\gamma:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^n$ 的所有划分 $0=t_0
函数 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 称为局部 $L$-Lipschitz 的, 如果 $A$ 中的每个点都有一个邻域, $f$ 在上面是 $L$-Lipschitz 的.
引理 2.2. 若 $A\subset\mathbb{R}^n$ 是 $C$-拟凸的, 且 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是局部 $L$-Lipschitz 的, 则 $f$ 是 $CL$-Lipschitz 的.
(证明参见问题970)
现在考虑(以极坐标表示的)带缝平面(slip plane):
\[
A:=\{(r,\theta)\ :\ 0 \]
函数
\[
(r,\theta)\mapsto(r,\theta/2),\quad A\rightarrow\mathbb{R}^2,
\]
是局部 1-Lipschitz 的, 但不是整体 Lipschitz 的(相对于 $\mathbb{R}^2$ 中的度量来说). 这个例子中的 $A$ 如果按照 $\mathbb{R}^2$ 上的度量, 则不满足引理 2.2 中的拟凸条件.
(证明参见问题971)
(2.1) 中的距离函数可以使用集合上的内蕴度量(intrinsic metric)来定义. 设 $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个集合, $A$ 中任两点可被 $A$ 中的一条有限长的曲线连接. $A$ 上的内蕴度量(intrinsic metric)定义为
\[
\delta_A(a,b):=\inf\text{length}(\gamma),\tag{2.4}
\]
这里下确界指取遍 $A$ 中连接 $a$ 和 $b$ 的所有曲线. (2.4) 事实上定义了 $A$ 上的一个度量, $A$ 是拟凸的当且仅当两个度量空间($(A,\rho_0)$, $(A,\delta_A)$)之间的恒同映射是 bi-Lipschitz 的. 回忆, 度量空间之间的映射称为是 bi-Lipschitz 的, 如果这个映射是 Lipschitz 的, 并且有一个 Lipschitz 逆(即逆映射也是 Lipschitz 的). 当然此时这个映射是一个同胚映射.
函数
\[
x\mapsto\text{dist}_A(x,x_0):=\delta_A(x,x_0)
\]
关于内蕴度量是 1-Lipschitz 的; 如果 $A$ 是拟凸的, 则它是 Lipschitz 的.(??)
本节后面我们将回到拟凸性与 Lipschitz retracts 之间联系的讨论上来.
最后, 我们称集合 $A$ 中连接点 $a$ 和 $b$ 的曲线 $\gamma$ 为内蕴测地线(intrinsic geodesic), 如果 $\text{length}(\gamma)=\delta_A(a,b)$.
译自下述文献. 翻译可能不准确.
References:
Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis.