Answer

问题及解答

由一族 $L$-Lipschitz 函数所定义的上确界函数和下确界函数

Posted by haifeng on 2012-12-08 22:13:31 last update 2012-12-08 22:13:31 | Edit | Answers (1)

引理 2.1. 设 $\{f_i:i\in I\}$ 是一族 $L$-Lipschitz 函数 $f_i:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$. 则函数

\[x\mapsto\inf_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]

\[x\mapsto\sup_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]

若在某一点有限, 则都是 $A$ 上的 $L$-Lipschitz 函数.

1

Posted by haifeng on 2012-12-08 22:38:18

我们以第一个函数为例. 任取 $x,y\in A$. 根据条件, $f_i$ 是 $L$-Lipschitz 的, 因此

\[|f_i(x)-f_i(y)|\leqslant L|x-y|.\]

这推出

\[f_i(x)\leqslant L|x-y|+f_i(y).\]

对于左边先取下确界, 得

\[\inf_{i\in I}f_i(x)\leqslant L|x-y|+f_i(y)\]

从这个式子可以看到如果函数 $x\mapsto\inf_{i\in I}f_i(x)$ 在某一点(不妨是这里的 $x$)有限, 则在其他点(如这里的 $y$)也有限.

对上面的式子右端取下确界, 得到

\[\inf_{i\in I}f_i(x)\leqslant L|x-y|+\inf_{i\in I}f_i(y),\]

类似可得

\[\inf_{i\in I}f_i(y)\leqslant L|y-x|+\inf_{i\in I}f_i(x),\]

因此

\[|\inf_{i\in I}f_i(x)-\inf_{i\in I}f_i(y)|\leqslant L|x-y|.\]

 


另一个函数类似证明.