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由一族 $L$-Lipschitz 函数所定义的上确界函数和下确界函数

Posted by haifeng on 2012-12-08 22:13:31 last update 2012-12-08 22:13:31 | Answers (1) | 收藏


引理 2.1. 设 $\{f_i:i\in I\}$ 是一族 $L$-Lipschitz 函数 $f_i:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$. 则函数

\[x\mapsto\inf_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]

\[x\mapsto\sup_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]

若在某一点有限, 则都是 $A$ 上的 $L$-Lipschitz 函数.