由一族 $L$-Lipschitz 函数所定义的上确界函数和下确界函数
引理 2.1. 设 $\{f_i:i\in I\}$ 是一族 $L$-Lipschitz 函数 $f_i:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$. 则函数
\[x\mapsto\inf_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]
和
\[x\mapsto\sup_{i\in I}f_i(x),\quad x\in A,\]
若在某一点有限, 则都是 $A$ 上的 $L$-Lipschitz 函数.