问题及解答

证明: $\text{dist}(x,E)$ 是 1-Lipschitz 函数. 这里 $x\in\mathbb{R}^n$, $E\subset\mathbb{R}^n$.

$\text{dist}(x,E)$ 定义为

\[\text{dist}(x,E):=\inf\{|x-a|,a\in E\}.\]

任取 $x,y\in\mathbb{R}^n$, 任取点 $a\in E$, 有

\[\text{dist}(x,a)\leqslant\text{dist}(x,y)+\text{dist}(y,a),\]

这推出

\[\inf_{a\in E}\text{dist}(x,a)\leqslant\text{dist}(x,y)+\text{dist}(y,a),\]

然后对于右边再取下确界, 得

\[\inf_{a\in E}\text{dist}(x,a)\leqslant\text{dist}(x,y)+\inf_{a\in E}\text{dist}(y,a).\]

此即

\[\text{dist}(x,E)\leqslant\text{dist}(x,y)+\text{dist}(y,E).\]

类似可证明

\[\text{dist}(y,E)\leqslant\text{dist}(x,y)+\text{dist}(x,E).\]

因此得

\[|\text{dist}(x,E)-\text{dist}(y,E)|\leqslant\text{dist}(x,y).\]