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[Juha Heinonen]Lectures on Lipschitz Analysis [2.4]

Posted by haifeng on 2012-12-24 16:19:03 last update 2012-12-25 11:02:15 | Answers (0) | 收藏


2.4 Lipschitz retracts.

集合 $Y\subset\mathbb{R}^m$ 称为相对于所在欧氏空间有 Lipschitz 扩展性质, 或者简称有 Lipschitz 扩展性质(Lipschitz extension property), 如果对每个 Lipschitz 映射 $f:A\rightarrow Y$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 可以扩展为 Lipschitz 映射 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow Y$.

 

注意到我们这里对于扩展的形式要求很宽, 对常数并没有限制. 在应用中, 进一步在定量方面的要求经常是必须的. 具有 Lipschitz 扩展性质的集合可以被欧氏空间的 Lipschitz 收缩(Lipschitz retracts) 所刻画.

 

集合 $Y\subset\mathbb{R}^m$ 称为是一个(欧氏)Lipschitz 收缩 (Euclidean Lipschitz retract), 如果存在一个 Lipschitz 映射 $\rho:\mathbb{R}^m\rightarrow Y$, 使得 $\rho(y)=y$ 对所有 $y\in Y$ 成立. 这样的映射 $\rho$ 称为(到 $Y$ 上的) Lipschitz retraction. 此时我们也称 $Y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz retract. 注意到, 如果 $Y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz 收缩, 则它是任意包含 $Y$ 的欧氏空间 $\mathbb{R}^M$ 的 Lipschitz 收缩. 于是术语 "欧氏 Lipschitz 收缩"(Euclidean Lipschitz retract) 是合适的.

 

Lipschitz 收缩集合一定是闭集. 因为它是零点在连续映射 $y\mapsto\rho(y)-y$ 之下的原像. 因此不失一般性, 我们仅考虑闭集 (in ensuring discussion).

 

Prop 2.10. 闭集 $Y\subset\mathbb{R}^m$ 具有 Lipschitz 扩展性质当且仅当 $Y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz retract.

Proof. ($\Rightarrow$) 设 $Y$ 具有 Lipschitz 扩展性质, 根据定义, 恒同映射 $Y\rightarrow Y$ 有 Lipschitz 扩展 $\mathbb{R}^m\rightarrow Y$. 从而 $Y$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz retract.

($\Leftarrow$) 若 $\rho:\mathbb{R}^m\rightarrow Y$ 是一个 Lipschitz retraction, 并且 $f:A\rightarrow Y$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 Lipschitz 映射, 则 $\rho\circ F:\mathbb{R}^n\rightarrow Y$ 给出了 $f$ 的一个 Lipschitz 扩展, 这里 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是 $A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 的 Lipschitz 扩展, 由 MsShane-Whitney 扩展定理所保证. #

 

Claim 1. 每个欧氏 Lipschitz retract 必是可缩的.

事实上, 若 $\rho:\mathbb{R}^m\rightarrow Y$ 是一个收缩映射, 且 $h:\mathbb{R}^m\times[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是将 $\mathbb{R}^m$ 连续形变为一点 $y_0\in Y$ 的连续映射(即 $h(x,0)=x$, $h(x,1)=y_0$, $\forall\ x\in\mathbb{R}^m$). 则
\[
H:\ Y\times[0,1]\rightarrow Y,\quad H(y,t):=\rho\circ h(y,t),
\]
给出了所需的同伦.

 

Claim 2. 另一个基本观察是每个欧氏 Lipschitz retract Y 必定是拟凸的(quasiconvex).

事实上, 若 $\rho:\mathbb{R}^m\rightarrow Y$ 是一个 $L$-Lipschitz retraction, 并且设 $[a,b]$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中连接 $Y$ 中 $a,b$ 两点的线段, 则 $\rho([a,b])$ 是 $Y$ 中连接 $a$ 到 $b$ 的一条曲线, 长度至多为 $L|a-b|$.

值得注意的是上面两个关于 retract 的必要条件对于 $m=2$ 维时也是充分的.(见下面的定理.)

 

Theorem 2.11. 平面 $\mathbb{R}^2$ 中的闭集 $Y$ 是一个欧氏 Lipschitz retract 当且仅当 $Y$ 是可缩且拟凸的.

欧氏 Lipschitz retract $Y$ 的拟凸常数和 retraction 的 Lipschitz 常数仅仅依赖于彼此, 从这个意义上, 上面的论述是定量的.


Juha Heinonen 是从 Jason Miller 那得知这个结果的. 2004 年夏天, 当 Jason Miller 在密歇根大学(University of Michigan)从事 REU-project(REU is a U.S. National Science Foundation funded program Research Experience for Undergraduates.)时发现了这个定理的证明. 很快, Juha Heinonen 发现 Theorem 2.11 可从 Lang 和 Schroeder 更一般的结果[42]中导出. 也就是, 每个可缩的 planar continuum 在其内蕴度量下是一个 $\text{CAT}(0)$ 空间, 并且 [42,Theorem A] 推出对于这种空间, Kirszbraun 定理成立; 恒同映射 $Y\rightarrow Y$ 扩展到 $\mathbb{R}^2\rightarrow Y$, 这个扩展映射关于内蕴度量是 Lipschitz 的. 拟凸的假设保证了 Lipschitz 条件对于欧氏度量也成立. 关于 $\text{CAT}(0)$ 空间的定义可参见 [42] 和 [10], 这里也引用了 [10,p.310] 中的事实. Kirszbraun 定理关于曲率条件的更进一步推广可以在 [41] 中找到.
 



References:

[10] Burago, D., Burago, Y., and Ivanov, S. A course in metric geometry, vol. 33 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.

[42] Lang, U., and Schroeder, V. Kirszbraun\'s theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7, 3 (1997), 535–560.