考虑(以极坐标表示的)带缝平面(slip plane):
\[
A:=\{(r,\theta)\ :\ 0<r<\infty,\ -\pi<\theta<\pi\}\subset\mathbb{R}^2
\]
函数
\[
(r,\theta)\mapsto(r,\theta/2),\quad A\rightarrow\mathbb{R}^2,
\]
是局部 1-Lipschitz 的, 但不是整体 Lipschitz 的(按照 $\mathbb{R}^n$ 中的距离).
这个例子展示了问题970中拟凸条件与距离的相关性.
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首先证明映射 $f:\,(r,\theta)\mapsto(r,\theta/2)$ 是局部 1-Lipschitz 的.
设 $P_1=(r_1,\theta_1)$, $P_2=(r_2,\theta_2)$, 且 $P_2\in B(P_1,\delta)\subset A$. $Q_1=f(P_1)$, $Q_2=f(P_2)$.
计算 $|P_1P_2|$:
\[
\begin{split}
|P_1P_2|^2&=(r_1\cos\theta_1-r_2\cos\theta_2)^2+(r_1\sin\theta_1-r_2\sin\theta_2)\\
&=r_1^2+r_2^2-2r_1 r_2\cos\theta_1\cos\theta_2-2r_1 r_2\sin\theta_1\sin\theta_2\\
&=r_1^2+r_2^2-2r_1 r_2\cos(\theta_1-\theta_2),
\end{split}
\]
因此, 类似的
\[
|Q_1Q_2|^2=r_1^2+r_2^2-2r_1 r_2\cos\frac{\theta_1-\theta_2}{2}.
\]
当 $P_1,P_2$ 在 $A$ 中很靠近时, $Q_1,Q_2$ 也是很靠近的. 从而有 $|\theta_1-\theta_2|$ 很小. 因此推出
\[
\cos(\theta_1-\theta_2)\leqslant\cos\frac{\theta_1-\theta_2}{2},
\]
即有 $|Q_1Q_2|\leqslant|P_1P_2|$, 故映射 $f$ 是局部 1-Lipschitz 的.
如果计算两点间的距离是按照 $\mathbb{R}^n$ 中的标准距离来计算, 则显然 $f$ 不是整体 Lipschitz 的. 比如, 可以取 $a=(-10,0.1)$, $b=(-10,-0.1)$.