[Juha Heinonen]Lectures on Lipschitz Analysis [$\S$ 2.2]
[Juha Heinonen]Lectures on Lipschitz Analysis
2.2 扩展定理.
我们证明属于 MsShane-Whitney 和 Kirszbraun 的重要的扩展定理.
定理 2.3(MsShane-Whitney 扩展定理). 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则它可以扩展到整个 $\mathbb{R}^n$ 上, 即存在一个 $L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $F|_A=f$.
证明
由于函数 \[ f_a(x):=f(a)+L|x-a|,\quad a\in A, \] 是 $\mathbb{R}^n$ 上的 $L$-Lipschitz 函数, 而函数r \[ F(x):=\inf_{a\in A}f_a(x),\quad F:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}, \] 根据引理 2.1 是 $L$-Lipschitz 的. 又显然有 $F(a)=f(a)$ 对于所有 $a\in A$ 成立.
推论 2.4. 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则存在一个 $\sqrt{m}L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得 $F|_A=f$.
证明: 对映射 $f$ 的 $m$ 个分量函数直接应用定理2.3 即可.
注: 推论中的系数 $\sqrt{m}$ 实际上是多余的, 但证明很困难. 见下面的 Kirszbraun 定理.
定理 2.3(Kirszbraun 定理) 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则存在一个 $L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得 $F|_A=f$.
证明: 通过对 $f$ 除以 $L$, 我们可以假设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是 1-Lipschitz 的.
为证明这个定理, 下面的引理是关键.
引理 2.6. 设 $f$ 是定义在 $F\subset\mathbb{R}^n$ 上的 $\mathbb{R}^m$ 值 1-Lipschitz 函数, 若 $x\in\mathbb{R}^n$, 则存在 $f$ 的扩展函数, 它是 $F\cup\{x\}$ 上的 $\mathbb{R}^m$ 值 1-Lipschitz 函数.
引理 2.7. 设 $\{x_1,\ldots,x_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有限点集, 且设 $\{y_1,\ldots,y_k\}$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的点集使得
\[
|y_i-y_j|\leqslant |x_i-x_j|\tag{2.6}
\]
对所有 $i,j\in\{1,\ldots,k\}$ 成立. 若 $r_1,\ldots,r_k$ 是使得
\[
\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(x_i,r_i)\neq\emptyset
\]
成立的正数, 则
\[
\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(y_i,r_i)\neq\emptyset.
\]
我们首先利用引理 2.7 证明引理 2.6. 事实上, 令 $F=\{x_1,\ldots,x_k\}\subset\mathbb{R}^n$, 设 $f:F\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是一个 1-Lipschitz 映射, 若令 $y_i:=f(x_i)$, 则 $|y_i-y_j|\leqslant|x_i-x_j|$. 设 $x\in\mathbb{R}^n$. 令 $r_i:=|x-x_i|$. 即 $x\in\bigcap_{i=1}^{k}\bar{B}(x_i,r_i)$. 根据引理 2.7, 存在一点 $y\in\bigcap_{i=1}^{k}\bar{B}(y_i,r_i)\subset\mathbb{R}^m$, 即使得 $|y-y_i|\leqslant r_i=|x-x_i|$ 对每个 $i$ 成立. 于是令 $f(x)=y$, 则得到我们所需要的扩展映射. 这就证明了引理 2.6.
注
这里我们要用到 $\overline{B}(x_i,r_i)$ 公共边界上的点, 也即假设 $\bigcap_{i=1}^{k}\partial B(x_i,r_i)\neq\emptyset$.
下面我们回到引理 2.7 的证明. 令
\[
G(y):=\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y-y_i|}{r_i},\quad y\in\mathbb{R}^m.
\]
则 $G:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个连续函数(事实上是 Lipschitz 的), 且当 $|y|\rightarrow\infty$ 时, $G(y)\rightarrow\infty$.
证明 $\max$ 函数是连续的, 因此 $G(y)$ 连续. $|y|\rightarrow+\infty$ 时, $G(y)\rightarrow+\infty$ 是显然的. 下面证明 $G(y)$ 是 Lipschitz 的.
在 $y$ 和 $y\'$ 的两个小邻域内, 不妨设
\[
\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y-y_i|}{r_i}=\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}},\quad \max_{j=1,\ldots,k}\frac{|y\'-y_j|}{r_j}=\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}.
\]
\[
\begin{split}
|G(y)-G(y\')|&=\biggl|\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y-y_i|}{r_i}-\max_{i=1,\ldots,k}\frac{|y\'-y_i|}{r_i}\biggr|\\
&=\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggl|\\
&\leqslant\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|+\biggl|\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|
\end{split}
\]
注意到, 只要 $x\neq y$, 就存在 $M>0$, 使得
\[
|kx-ly|\leqslant M|x-y|.
\]
因此, 存在 $M_1>0$, 使得
\[
\biggl|\frac{|y-y_{i_0}|}{r_{i_0}}-\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|\leqslant M_1|y_{i_0}-y_{j_0}|,
\]
而 $y_{i_0}$ 和 $y_{j_0}$ 分别是 $y$ 和 $y\'$ 的简单函数, 并且由于 $G(y)$ 是连续函数, 故当 $|y-y\'|\rightarrow 0$ 时, 有 $y_{j_0}=y_{i_0}$. 因此存在常数 $M_2>0$, 使得
\[
|y_{i_0}-y_{j_0}|\leqslant M_2|y-y\'|.
\]
另一方面, 存在 $M_3>0$, 使得
\[
\biggl|\frac{|y-y_{j_0}|}{r_{j_0}}-\frac{|y\'-y_{j_0}|}{r_{j_0}}\biggr|\leqslant M_3|y-y\'|.
\]
综上, 存在 $M>0$, 使得 $|G(y)-G(y\')|\leqslant M|y-y\'|$.
而 $G(y)\geqslant 0$, 因此推出 $G(y)$ 在某一点 $w\in\mathbb{R}^m$ 取得最小值. 我们证明 $G(w)\leqslant 1$.
(反证法) 假设 $G(w)=:\lambda>1$. 记 $J$ 是使得 $|w-y_j|=r_j\lambda$ 的指标 $j$ 构成的集合. 即
\[
J=\{j\in\{1,2,\ldots,k\}\mid\ |w-y_j|=r_j\lambda\}.
\]
取点
\[x\in\bigcap_{j\in J}\overline{B}(x_j,r_j),\]
并考虑下面两个单位向量集合
\[
D:=\{\frac{x_j-x}{|x_j-x|}\ :\ j\in J\}\subset\mathbb{S}^{n-1},\quad
D\':=\{\frac{y_j-w}{|y_j-w|}\ :\ j\in J\}\subset\mathbb{S}^{m-1}
\]
从定义以及反证法的假设, 若令 $u_j=\frac{x_j-x}{|x_j-x|}$, $v_j=\frac{y_j-w}{|y_j-w|}$, 则易见自然映射 $D\rightarrow D\'$, $u_j\mapsto v_j$ 是距离严格递减的.
证明
我们要从条件 $|y_i-y_j|\leqslant|x_i-x_j|$ 推出 $\sphericalangle(v_{j_1},v_{j_2})<\sphericalangle(u_{j_1},u_{j_2})$. 注意 $D,D\'$ 上的距离是球面距离, 也即两个单位向量之间的夹角.
令
$\theta:=\sphericalangle(v_{i_1},v_{i_2})$, $\alpha:=\sphericalangle(u_{i_1},u_{i_2})$. 则 $\theta=\sphericalangle(y_{i_1}-w,y_{i_2}-w)$, $\alpha=\sphericalangle(x_{i_1}-x,x_{i_2}-x)$.
由余弦定理, 得到
\[
\begin{aligned}
|y_{i_1}-y_{i_2}|^2&=|y_{i_1}-w|^2+|y_{i_2}-w|^2-2|y_{i_1}-w||y_{i_2}-w|\cos\theta,\\
|x_{i_1}-x_{i_2}|^2&=|x_{i_1}-x|^2+|x_{i_2}-x|^2-2|x_{i_1}-x||x_{i_2}-x|\cos\alpha.
\end{aligned}
\]
由于 $|y_{i_1}-y_{i_2}|\leqslant|x_{i_1}-x_{i_2}|$, 因此
\[
\begin{split}
&|y_{i_1}-w|^2+|y_{i_2}-w|^2-2|y_{i_1}-w||y_{i_2}-w|\cos\theta\\
\leqslant&|x_{i_1}-x|^2+|x_{i_2}-x|^2-2|x_{i_1}-x||x_{i_2}-x|\cos\alpha
\end{split}
\]
由于 $|y_{j}-w|=\lambda r_{j}$, 对 $\forall\ j\in J$. 并且注意到 $|x_i-x|\leqslant r_i$, 故
\[
\begin{split}
&\lambda^2(r_{i_1}^2+r_{i_2}^2-2r_{i_1}r_{i_2}\cos\theta)\\ \leqslant&|x_{i_1}-x|^2+|x_{i_2}-x|^2-2|x_{i_1}-x||x_{i_2}-x|\cos\alpha.
\end{split}
\]
我们假设 $\lambda>1$, 故推出
\[
\begin{split}
&r_{i_1}^2+r_{i_2}^2-2r_{i_1}r_{i_2}\cos\theta\\
<&|x_{i_1}-x|^2+|x_{i_2}-x|^2-2|x_{i_1}-x||x_{i_2}-x|\cos\alpha.
\end{split}
\]
要知道
\[
\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(x_i,r_i)\neq\emptyset\not\Rightarrow\bigcap_{i=1}^{k}\partial{B}(x_i,r_i)\neq\emptyset
\]
因此, 这个证明或许有问题, 如果该引理确是这么证的, 则其正确性有待观察. 而且该引理条件需要考虑所有闭球 $B(x_i,r_i)$ 的边界的交非空, 因为需要用此来证明引理 2.6. 于是即使我们在证明中取点 $x\in\bigcap_{i=1}^{k}\partial B(x_i,r_i)$, 从而有 $|x-x_i|=r_i$. 将它们代入到上面的不等式中, 也只能得到
\[
\cos\alpha\leqslant 2\lambda^2\cos\theta,
\]
不能一定推出 $\cos\theta>\cos\alpha$, 从而 $\theta<\alpha$. 因此这个命题值得怀疑. 事实上, Gromov 的体积定理中是考虑开球的交, 而非闭球的交.
要证明引理 2.7, 我们需要下面的引理.
引理 2.8. 设 $g:K\rightarrow\mathbb{S}^{m-1}$ 是一个 $L$-Lipschitz 映射, $L<1$, 其中 $K\subset\mathbb{S}^{n-1}$ 是紧致的. 则 $g(K)$ 包含在一个开半球内.
在证明引理 2.8 之前, 我们来看引理 2.7 是怎么由它导出的. 事实上, 映射 $D\rightarrow D\'$ 是距离严格递减的. 因此是一个 $L$-Lipschitz 映射, $L<1$. 这里注意到 $D,D\'$ 是有限集. 因此根据引理 2.8, $D\'$ 包含在某个开半球内, 比方说 $D\'\subset\mathbb{S}^{m-1}\cap\{x_m>0\}$. 但是将 $w$ 沿着第 $m$ 个基向量 $e_m$ 的方向稍微移动一点点, 函数 $G$ 的值就减少了, 这与 $G$ 在 $w$ 处取得最小值矛盾.
(why?)
剩下只要证明引理 2.8 即可. 为此, 记 $C$ 是 $g(K)$ 在 $\overline{B}^m$ 中的凸包(convex hull). 我们需要证明 $C$ 不包含原点(从而 $g(K)$ 被包含在某个开半球内). 于是用反证法, 假设对于向量 $v_1,\ldots,v_k\in K$, 存在常数 $\lambda_i\in[0,1]$,$i=1,\ldots,k$, $\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$, 使得
\[
\lambda_1 g(v_1)+\cdots+\lambda_k g(v_k)=0.
\]
由于 $g$ 是 $L$-Lipschitz 的, $L<1$, 因此我们有
\[
|g(v_i)-g(v_j)|<|v_i-v_j|,
\]
由余弦定理, 并且注意到 $|g(v_i)|=|g(v_j)|=|v_i|=|v_j|=1$, 可得
\[
\langle g(v_i),g(v_j)\rangle >\langle v_i,v_j\rangle,\quad\forall\ i\neq j.
\]
令 $b_i:=\lambda_1 v_i$, 则有
\[
\sum_{i=1}^{k}\langle b_j,b_i\rangle <0.
\]
事实上, 对每个 $j$,
\[
\begin{split}
\sum_{i=1}^{k}\langle b_j,b_i\rangle&=\sum_{i=1}^{k}\langle\lambda_j v_j,\lambda_i v_i\rangle\\&=\lambda_j\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\langle v_j,v_i\rangle\\
&<\lambda_j\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\langle g(v_j),g(v_i)\rangle\\
&=\sum_{i=1}^{k}\langle \lambda_jg(v_j),\lambda_ig(v_i)\rangle\\
&=\langle\lambda_jg(v_j),\sum_{i=1}^{k}\lambda_ig(v_i)\rangle\\
&=\langle\lambda_jg(v_j),0\rangle\\
&=0.
\end{split}
\]
这推出
\[
\langle(b_1+\cdots+b_k),(b_1+\cdots+b_k)\rangle=\sum_{i,j=1}^{k}\langle b_j,b_i\rangle<0,
\]
这显然是不可能的. 因此假设错误, 引理 2.8 得证.从而证明了引理 2.6. 剩下需要指出的是 Kirszbraun 定理如何由引理 2.6 导出.
我们采用标准的 Arzela-Ascoli 论述. 分别在 $A$ 和 $\mathbb{R}^n\setminus A$ 中选取可数稠密子集 $\{a_1,a_2,\ldots\}$ 和 $\{b_1,b_2,\ldots\}$. 我们可以假设这两个集合都是无穷集合. (若 $\mathbb{R}^n\setminus A$ 是有限集, 则映射的扩展是自动的; 若 $A$ 是有限集, the ensuing argument requires
only minor notational modifications.)
对每个 $k=1,2,\ldots$, 我们重复应用引理 2.6, 得到下面的 1-Lipschitz 映射
\[f_k:\ \{a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_k\}\rightarrow\mathbb{R}^m\]
使得 $f_k(a_i)=f(a_i)$, 对每个 $i=1,2,\ldots,k$ 成立. 序列 $\{f_k(b_1)\}_{k=1}^{+\infty}\subset\mathbb{R}^m$ 是有界的, 因此有收敛子序列, 比方说 $\{f_{k_j^1}(b_1)\}$.
类似的, 对应于这个子序列的映射 $\{f_{k_j^1}\}$, 我们可以抽取其中的子列, 比如 $\{f_{k_j^2}\}$, 使得点列 $\{f_{k_j^2}(b_2)\}\subset\mathbb{R}^m$ 收敛. 继续下去, 最终得到一个对角线序列 $\{g_j\}$, $g_j:=f_{k_j^j}$. 我们对每个 $c\in C:=\{a_1,a_2,\ldots\}\cup\{b_1,b_2,\ldots\}$, 发现极限
\[
g(c):=\lim_{j\rightarrow+\infty}g_j(c)\in\mathbb{R}^m
\]
是存在的. 并且, $g:C\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是 1-Lipschitz 的, 而且 $g(a_i)=f(a_i)$, $\forall\ i=1,2,\ldots$. 又因为 $C$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中稠密, $\{a_1,a_2,\ldots\}$ 在 $A$ 中稠密, $g$ 是所求的 1-Lipschitz 的扩展映射.
这就完成了 Kirszbraun 定理(2.5)的证明.
注 2.9. (a) 在刚才关于 Kirszbraun 定理的证明中, 最重要的引理是引理 2.7. Gromov 在 [19] 中所断言的体积单调性质也可以用于导出引理 2.7.
Remark
注意要求 $k\leqslant n+1$. 关于体积单调性质的猜想参见 Roman Dovgard, Thesis for the M.Sc. Degree: Simulations of Mahler\'s and volume monotonicity conjectures.
也就是, 假设
\[
\overline{B}(x_1,r_1),\ldots,\overline{B}(x_k,r_k)\quad\text{和}\quad\overline{B}(y_1,r_1),\ldots,\overline{B}(y_k,r_k)
\]
是 $\mathbb{R}^n$ 中的闭球, $k\leqslant n+1$, 且满足 $|y_i-y_j|\leqslant|x_i-x_j|$, 对每个 $i,j\in\{1,\ldots,k\}$ 成立. 则有下面的不等式
\[
\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(x_i,r_i)\Bigr)\leqslant\text{Vol}\Bigl(\bigcap_{i=1}^{k}\overline{B}(y_i,r_i)\Bigr).
\]
显然, 引理 2.7 可从此断言导出. 从而提供了 Kirszbraun 定理的另一种证明.
(b) 若把 $\mathbb{R}^n$ 换成任意可分(separable) Hilbert 空间, 而 $\mathbb{R}^m$ 换成任意有限维 Hilbert 空间, 之前关于 Kirszbraun 定理 2.5 的证明仍然适用. Kirszbraun 定理标准的证明使用了 Zorn 引理(结合引理 2.7或一个类似的辅助结果). 上面的 Arzela-Ascoli 论述对于无穷维空间不再适用.