设数列 $\{a_n\}$ 满足递推公式 $a_{n+1}=(n+1)a_n+1$, 且 $a_0=1$, 求通项 $a_n$ 的表达式.

设 $a_i\in\mathbb{R}^+$, $i=1,2,\ldots,n$. 则

\[
\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}\leqslant\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n},
\]

等号成立当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$. 这个称为 AG 不等式. $\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n}$ 称为 $\{a_i\}_{i=1}^{n}$ 这 $n$ 个数的几何平均; 而 $\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$ 称为这 $n$ 个数的算术平均. 

若将上面不等式中的 $a_i$ 替换为 $\frac{1}{a_i}$, 则得到调和平均不等式:

\[
\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}\leqslant\sqrt[n]{a_1 a_2\cdots a_n},
\]

等号成立也是当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$. 

若 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n$, $b_1\leqslant b_2\leqslant\cdots\leqslant b_n$, 则

\[
\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\ \geqslant\ \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}a_i)\cdot(\sum_{i=1}^{n}b_i)\ \geqslant\ \sum_{i=1}^{n}a_i b_{n+1-i}.
\]

[Hint] 使用排序不等式证明.

设有两个有序数组 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_n$ 及 $b_1\leqslant b_2\leqslant\cdots\leqslant b_n$, 则

\[
\begin{split}
& a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n\quad\text{(顺序和)}\\
\geqslant\ & a_1 b_{j_1}+a_2 b_{j_2}+\cdots a_n b_{j_n}\quad\text{(乱序和)}\\
\geqslant\ & a_1 b_n+a_2 b_{n-1}+\cdots+a_n b_1\quad\text{(反序和)}
\end{split}
\]

其中 $j_1, j_2, \ldots, j_n$ 是 $1,2,\ldots,n$ 的任一排列. 上面不等号成立当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 或 $b_1=b_2=\cdots=b_n$.

利用排序不等式可证明切比雪夫不等式.

求解下面的二元三次方程组.

\[
\begin{cases}
m^3-3mn=2,\\
3m^2 n-n^3=11.
\end{cases}
\]

当然, 我们可以猜出 $m=2,n=1$ 是其中一个解.

证明三倍角公式:

\[
\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta.
\]

求 $\sin(\frac{k}{5}\pi)$ 的值, 这里 $k\in\mathbb{Z}$.

利用三倍角公式, 可以求出

\[
\cos(36^{\circ})=\cos(\frac{1}{5}\pi)=\frac{1+\sqrt{5}}{4},
\]

\[
\sin(36^{\circ})=\sin(\frac{1}{5}\pi)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}.
\]

从而

\[
\sin(72^{\circ})=\sin(\frac{2}{5}\pi)=2\sin(\frac{1}{5}\pi)\cos(\frac{1}{5}\pi)=2\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\cdot\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}.
\]

$\sin(108^{\circ})=\sin(\frac{3}{5}\pi)=\sin(\pi-\frac{3}{5}\pi)=\sin(\frac{2}{5}\pi)$. 当然, 也可以利用三倍角公式计算:

\[
\cos(72^{\circ})=\cos(\frac{2\pi}{5})=2\cos^2(\frac{\pi}{5})-1=2\cdot\Bigl(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\Bigr)^2-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
\]

证明：任意一个定义在A上的Lipschitz函数都可以通过其一致连续性扩展到A的闭包上的一个Lipschitz函数

设函数 $f(x)$ 满足下面的关系,

\[
f(f(x))=\begin{cases}
(x-1)^2, & x\geqslant 1,\\
f(x), & x < 1.
\end{cases}
\]

求 $f(1)$.

问题来自:

f(f(x))=(x-1)^2(x≧1时),f(x)(x<1时)、求f(1) - 基础数学 - 数学中国 - Powered by Discuz! (mathchina.com)

Теорема Лузина-Данжуа

Luzina-Danjoy theorem

Теорема Лузина-Данжуа — Викиконспекты (ifmo.ru)