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代数 >> 李代数
Questions in category: 李代数 (Lie algebra).

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记 $\mathfrak{so}(p,q)=\mathrm{Lie}(\mathrm{SO}(p,q))$. 证明它的复化是 $\mathfrak{so}(p,q)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{so}(p+q,\mathbb{C})$.

Posted by haifeng on 2017-06-12 10:26:03 last update 2017-06-12 10:26:03 | Answers (0) | 收藏

记 $\mathfrak{so}(p,q)=\mathrm{Lie}(\mathrm{SO}(p,q))$. 证明它的复化是 $\mathfrak{so}(p,q)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{so}(p+q,\mathbb{C})$.

2

球面上的 Laplace 算子

Posted by haifeng on 2017-06-12 10:12:54 last update 2017-06-12 10:22:08 | Answers (0) | 收藏

设 $J_x, J_y, J_z$ 是 $\mathfrak{so}(3,\mathbb{R})$ 中的一组基. (参见问题)

$\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的标准群作用定义了 $\mathfrak{so}(3,\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的通过向量场的一个作用.

我们仍使用 $J_x, J_y, J_z$ 作为对应的 $\mathbb{R}^3$ 上的向量场. 令

\[
\Delta_{sph}=J_x^2 + J_y^2 +J_z^2,
\]

这是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个二阶微分算子, 通常称为球面 Laplace 算子(spherical Laplace operator, or the Laplace operator on the sphere).

(1) 将 $\Delta_{sph}$ 写成 $x,y,z,\partial_x,\partial_y,\partial_z$ 的形式.

(2) 证明 $\Delta_{sph}$ 在 $S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ 上的定义良好的微分算子, 也即, 若 $f$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个函数, 则 $(\Delta_{sph}f)\bigr|_{S^2}$ 仅依赖于 $f|_{S^2}$.

(3) 证明通常的 Laplace 算子 $\Delta=\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2$ 可以写成

\[
\Delta=\frac{1}{r^2}\Delta_{sph}+\Delta_{radical},
\]

此处 $\Delta_{radical}$ 是指用 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 和 $r\partial_r=x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z$ 写成的微分算子.

(4) 证明 $\Delta_{sph}$ 是旋转不变的: 对任意函数 $f,g\in\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$, $\Delta_{sph}(gf)=g(\Delta_{sph}f)$.

 

3

设 $\{H_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ 是李群 $G$ 的一族李子群, 它们的李代数是 $\mathfrak{h}_{\alpha}=\mathrm{Lie}(H_{\alpha})$. 令 $H=\cap_{\alpha}H_{\alpha}$. 请证明 $H$ 是 $G$ 的李子群, 且具有李代数 $\mathfrak{h}=\cap_{\alpha}\mathfrak{h}_{\alpha}$.

Posted by haifeng on 2017-06-12 09:56:23 last update 2017-06-12 09:56:50 | Answers (0) | 收藏

设 $\{H_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ 是李群 $G$ 的一族李子群, 它们的李代数是 $\mathfrak{h}_{\alpha}=\mathrm{Lie}(H_{\alpha})$. 令 $H=\cap_{\alpha}H_{\alpha}$.

不用关于闭子群的定理, 请证明 $H$ 是 $G$ 的李子群, 且具有李代数 $\mathfrak{h}=\cap_{\alpha}\mathfrak{h}_{\alpha}$.

4

$\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 在 $\mathbb{C}P^1$ 上的作用.

Posted by haifeng on 2017-06-12 09:51:17 last update 2017-06-12 09:51:17 | Answers (0) | 收藏

设 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 以通常的方式作用在 $\mathbb{C}P^1$ 上:

\[
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}
(x\ :\ y)=(ax+by\ :\ cx+dy).
\]

这定义了 $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$

5

证明 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 这个李代数同构于 $\mathrm{so}(3,\mathbb{R})$.

Posted by haifeng on 2017-06-12 09:45:24 last update 2017-06-12 09:45:24 | Answers (0) | 收藏

(1) 证明 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 是一个李代数, 这里 $\times$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的叉积.

(2) 证明 $(\mathbb{R}^3,\times)$ 这个李代数同构于 $\mathrm{so}(3,\mathbb{R})$.

6

设 $\mathfrak{g}$ 是李群 $G$ 的李代数. 对于 $x\in\mathfrak{g}$, 记 $\xi_x$ 为李群 $G$ 上的满足 $\xi_x(1)=x$ 的左不变向量场. 则有 $[\xi_x, \xi_y]=-\xi_{[x,y]}$.

Posted by haifeng on 2017-06-12 09:18:44 last update 2017-06-12 09:18:44 | Answers (0) | 收藏

设 $\mathfrak{g}$ 是李群 $G$ 的李代数. 对于 $x\in\mathfrak{g}$, 记 $\xi_x$ 为李群 $G$ 上的满足 $\xi_x(1)=x$ 的左不变向量场. 则有

\[
[\xi_x, \xi_y]=-\xi_{[x,y]}.
\]

7

证明 $X=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 不是指数映射的像.

Posted by haifeng on 2017-06-12 09:09:18 last update 2017-06-22 10:04:00 | Answers (1) | 收藏

考虑群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$. 证明 $X=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 不是指数映射的像.

 

[Hint]

若存在 $x$, 使得 $X=\exp(x)$, 则 $x$ 的特征值是什么?

 


References:

Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras.  (Exercise 3.1)

8

求李代数 $\mathrm{su}(2)$ 的基.

Posted by haifeng on 2017-06-06 09:58:43 last update 2017-06-06 11:03:52 | Answers (2) | 收藏

求李代数 $\mathrm{su}(2)$ 的基.

由此证明 $\mathrm{sl}(2,\mathbb{C})=\mathrm{su}(2)\otimes\mathbb{C}$.

9

Ado 定理

Posted by haifeng on 2017-04-25 11:55:30 last update 2017-04-25 12:14:30 | Answers (0) | 收藏

Ado 定理说的是

每个有限维李代数同构于一个矩阵李代数.

对于每个有限维矩阵李代数, 存在一个线性群(矩阵李群)以此为李代数. 因此, 每个抽象李代数都是某个线性李群的李代数.

 


一般的, 李群的整体结构(global structure)不是由其李代数决定的; 例如, 若 $Z$ 是李群 $G$ 的中心的任意一个离散子群, 则 $G$ 和 $G/Z$ 具有相同的李代数. (李群列表, 参见 https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups  , 典型群的李代数(问题1936))

一个连通李群是单的(simple), 半单的(semisimple), 可解的(solvable), 幂零的(nilpotent) 或交换的(abelian), 当且仅当其李代数具有相应的性质.

如果我们要求李群是单连通的(simply connected), 则它的整体结构可由其李代数决定: 对于域 $F$ 上的每个有限维李代数 $\mathfrak{g}$, 存在某个单连通李群 $G$ 以 $\mathfrak{g}$ 为其李代数, 且在同构意义下是唯一的. 并且, 李代数之间的同态可以唯一提升到相应的单连通李群之间的同态.

 


References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

https://en.wikipedia.org/wiki/Ado%27s_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups

 

10

李群之间的同态诱导相应的李代数之间的同态.

Posted by haifeng on 2017-04-24 21:11:32 last update 2017-04-25 11:45:27 | Answers (1) | 收藏

设 $G$ 是一个李群, 则 $\mathfrak{g}=T_1 G$ 具有一个典范的李代数结构, 交换子如问题878中所定义. 我们将记这个群为 $\mathrm{Lie}(G)$.

每个李群同态 $\varphi:\ G_1\rightarrow G_2$ 定义了一个相应的李代数同态 $\varphi_*:\ \mathfrak{g}_1\rightarrow\mathfrak{g}_2$. 因此我们得到一个映射

\[
\mathrm{Hom}(G_1,G_2)\rightarrow\mathrm{Hom}(\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_2),
\]

如果 $G_1$ 是连通的, 则这个映射是单射, 即可认为 $\mathrm{Hom}(G_1,G_2)\subset\mathrm{Hom}(\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_2)$.

 


Remark:

1. 李群的同态 $f: G_1\rightarrow G_2$ 指 $f$ 是一个群同态, 并且是一个光滑映射. 如果 $G_1$ 和 $G_2$ 是复李群, 则要求 $f$ 是全纯的(holomorphic). 当然这个条件有点苛刻, 实的李群之间的每个连续同态都是(实)解析的(real analytic).

2.  对于李群同态 $f: G_1\rightarrow G_2$, $g: G_2\rightarrow G_3$, 则复合映射 $g\circ f: G_1\rightarrow G_3$ 显然仍是一个李群同态. 如果考虑所有的李群, 以及所有的李群同态, 则构成一个范畴(category).

3. 关于李群的同构的定义, 参见问题1956

4. 如果使用范畴的语言, 我们得到一个从李群范畴到李代数范畴的协变算子(covariant functor), 它将李群映为李代数, 且将李群同态($\varphi$)映为其在单位元处的切映射($\varphi_*$).

5. $\mathrm{Hom}(G_1,G_2)$ 和 $\mathrm{Hom}(\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_2)$ 是否可成为两个群.

 

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

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