设 $J_x, J_y, J_z$ 是 $\mathfrak{so}(3,\mathbb{R})$ 中的一组基. (参见问题)
$\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的标准群作用定义了 $\mathfrak{so}(3,\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上的通过向量场的一个作用.
我们仍使用 $J_x, J_y, J_z$ 作为对应的 $\mathbb{R}^3$ 上的向量场. 令
\[
\Delta_{sph}=J_x^2 + J_y^2 +J_z^2,
\]
这是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个二阶微分算子, 通常称为球面 Laplace 算子(spherical Laplace operator, or the Laplace operator on the sphere).
(1) 将 $\Delta_{sph}$ 写成 $x,y,z,\partial_x,\partial_y,\partial_z$ 的形式.
(2) 证明 $\Delta_{sph}$ 在 $S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}$ 上的定义良好的微分算子, 也即, 若 $f$ 是 $\mathbb{R}^3$ 上的一个函数, 则 $(\Delta_{sph}f)\bigr|_{S^2}$ 仅依赖于 $f|_{S^2}$.
(3) 证明通常的 Laplace 算子 $\Delta=\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2$ 可以写成
\[
\Delta=\frac{1}{r^2}\Delta_{sph}+\Delta_{radical},
\]
此处 $\Delta_{radical}$ 是指用 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 和 $r\partial_r=x\partial_x+y\partial_y+z\partial_z$ 写成的微分算子.
(4) 证明 $\Delta_{sph}$ 是旋转不变的: 对任意函数 $f,g\in\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$, $\Delta_{sph}(gf)=g(\Delta_{sph}f)$.