考虑群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$. 证明 $X=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & -1\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 不是指数映射的像.
[Hint]
若存在 $x$, 使得 $X=\exp(x)$, 则 $x$ 的特征值是什么?
References:
Alexander Kirillov, Jr. Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. (Exercise 3.1)
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假设存在 $x\in\mathrm{sl}(2,\mathbb{R})$, 使得 $X=\exp(x)$. 则 $\mathrm{tr}(x)=0$. 可以假设 $x=\begin{pmatrix}a & b\\ c & -a\end{pmatrix}$. 若 $\lambda$ 是 $x$ 的特征值, 则
\[
0=\begin{vmatrix}\lambda-a & -b \\ -c & \lambda+a\end{vmatrix}=(\lambda-a)(\lambda+a)-bc=\lambda^2-(a^2+bc).
\]
因此 $\lambda=\pm\sqrt{a^2+bc}$.
于是存在可逆矩阵 $P$, 使得 $x=P^{-1}\Lambda P$, 这里 $\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix}$.
因此
\[
X=\exp(x)=e^x=e^{P^{-1}\Lambda P}=P^{-1}e^{\Lambda}P
\]
回忆 $\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(A)$, 因此
\[
\mathrm{tr}(X)=\mathrm{tr}(P^{-1}e^{\Lambda}P)=\mathrm{tr}(e^{\Lambda})=e^{\lambda_1}+e^{\lambda_2}
\]
如果 $a^2+bc\geqslant 0$, 则 $\lambda_1,\lambda_2$ 都是实数, 从而 $e^{\lambda_1}+e^{\lambda_2}\geqslant 2$.
若 $a^2+bc < 0$, 则 $\lambda_1=\alpha i$, $\lambda_2=-\alpha i$, 这里 $\alpha=\sqrt{-a^2-bc}$. 于是
\[
e^{\lambda_1}+e^{\lambda_2}=e^{\alpha i}+e^{-\alpha i}=2\cos\alpha
\]